Delta Epsilon Kriterium (stetigkeit beweisen)

03.05.2011, 17:33

lisu

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Delta Epsilon Kriterium (stetigkeit beweisen)

Meine Frage:
Hallo @ all,
kann mir jemand den Einstieg in die Welt der e-d-Kriterien geben?
Wie macht man das mit Delta Epsilon?

Ich soll mit Hilfe des Delta-Epsilon-Kriteriums, zeigen, dass folgende Funktionen im Punkt a = 1 stetig sind.

a) f: R -> R, f(x) = x

a) f: R -> R, f(x) = x^2

Meine Ideen:
Ich kenne nur den Weg, die Gleichung über Grenzwerte zu untersuchen.
Da x ja eine stetige Komponente ist und bei a = 1 beide Grenzwerte gegen 1 gehen, könnte ich so doch sagen, dass es stetig ist, oder??
Leider wird aber nach den Delta Epsilon Kriterien gefragt...

03.05.2011, 17:40

Huy

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Das Delta-Epsilon-Kriterium (in x_0) lautet $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0: |x-x_0| < \delta \implies |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon \; \forall x \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ und angenommen $\begin{eqnarray*} |x-1| < \delta \end{eqnarray*}$ . Was kannst du nun über $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(1)| \end{eqnarray*}$ aussagen?

MfG

03.05.2011, 18:08

lisu

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Gilt die Formel die du geschrieben hast immer?

in meiner Aufgabe würde es also heißen:

..... : Ix-1I < delta --> Ix - 1I < epsilon

Gilt Delta > 0 immer?

Das $\begin{eqnarray*} |x-1| < \delta \end{eqnarray*}$ entnimmst du aus der Formel?!

Aus If(x) - f(1)I wird auch Ix - 1I .... was bedeutet das nun für mich? ...ich glaube bei mir haperts noch am Grundverständnis. Was wäre denn hier die Aussage? Anders gefragt, was möchte ich / was zeige ich dadurch?

Danke & Grüße zurück

03.05.2011, 18:21

Huy

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Dieses Delta-Epsilon-Kriterium ist eigentlich keine "Formel", sondern eine Definition der Stetigkeit. Sie besagt, dass du für jedes Epsilon > 0 ein Delta > 0 finden kannst, sodass wenn der Abstand zwischen zwei Argumenten kleiner als Delta (|x - x_0| < delta) ist, der Abstand zwischen den beiden Funktionswerten kleiner als das Epsilon ist (|f(x) - f(x_0)| < eps).

Um Stetigkeit nachzuweisen, geht man gewöhnlicherweise immer denselben Weg:
Man lässt Delta eine beliebige Zahl > 0 sein und nimmt dann an, dass |x-x_0| < delta gilt. Anschliessend versucht man anschliessend, |f(x) - f(x_0)| irgendwie mit diesem Delta von oben zu begrenzen.

Wie du richtig bemerkt hast, ist im ersten Fall |f(x) - f(x_0)| dasselbe wie |x - x_0|, wobei |x - x_0| < delta gilt. Du kannst also Delta = Epsilon wählen und dadurch hast du gezeigt, dass für alle Epsilon > 0 ein solches Delta existiert.

Wie sieht im zweiten Fall |f(x) - f(x_0)| aus?

MfG

03.05.2011, 18:34

lisu

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Danke, ein Licht am Ende des Tunnels! Etwas mehr versteh ich es jetzt (jedenfalls rechnerisch).

Den zweiten Fall würde ich auch so angehen:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0: |x-x_0| < \delta \implies |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon \; \forall x \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ und angenommen $\begin{eqnarray*} |x-1| < \delta \end{eqnarray*}$ . Was kanns man nun über $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(1)| \end{eqnarray*}$ aussagen?

(Zwischenfrage: Kann ich das immer so angehen?)

Nun setzte ich ein:

Ix-1I < delta -> I $\begin{eqnarray*} x^{n} -1 \end{eqnarray*}$ I < Epsilon

Also muss Epsilon größer sein also Delta!? Ist das die Aussage und wenn ja, ist das dann der Beweis, dass es stetig ist, oder eben nicht stetig?? Oder muss ich noch schauen um wieviel größer?

Grüße

03.05.2011, 18:45

Huy

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Zur Zwischenfrage, wie schon gesagt, ja, so kann man das immer angehen und so geht man das auch praktisch immer an. Nur darfst du nicht einfach so einsetzen, wie du das getan hast. In diesem Fall ist

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x)| = |x^2 - 1| \end{eqnarray*}$

und was du jetzt erreichen möchtest, ist, dass du diesen Abstand mit deinem Delta (das grösser ist, als der Abstand von |x-1|) von oben beschränkst. Du kannst nicht einfach so sagen, dass das kleiner als Epsilon ist...

MfG

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03.05.2011, 18:56

lisu

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aber durch das einsetzen sehe ich doch erst das: $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| = |x^2 - 1| \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Ich hab mir die beiden "Gegebenheiten" der "Formel" angeschaut:
$\begin{eqnarray*} |x - 1| < \delta \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} |x^2 - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$

und das sagt mir doch das bei jeder Zahl die ich einsetzte, die Bedingung für Epsilon größer ist als für Delta. ....dachte ich zumindest.

Wie erreiche ich, dass ich den Abstand mit meinem Delta beschränke?

03.05.2011, 19:03

Huy

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Zitat:

Original von lisu
$\begin{eqnarray*} |x - 1| < \delta \end{eqnarray*}$

Dies ist, was du zu Beginn deines Beweises annimmst.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |x^2 - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Dies ist, was du erst noch ZEIGEN musst. Dabei musst du ein Epsilon, das von Delta abhängt, benutzen! Das heisst, dass auf der rechten Seite etwas wie 2*delta stehen muss. Was genau auf der rechten Seite stehen kann, musst du aber selber rausfinden...

Zitat:

und das sagt mir doch das bei jeder Zahl die ich einsetzte, die Bedingung für Epsilon größer ist als für Delta. ....dachte ich zumindest.

Dein Problem ist einfach, dass du Stetigkeit bereits voraussetzt. Das Delta-Epsilon-Kriterium (so wie ich es aufgeschrieben habe) ist die Definition der Stetigkeit. Wenn du Stetigkeit zeigen musst, musst du also zeigen, dass das Kriterium hier erfüllt ist. Du aber nimmst an, dass die Funktion stetig ist und folgerst daraus, dass die Funktion stetig ist...

MfG

03.05.2011, 19:10

lisu

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lautet das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \delta ^{2} \end{eqnarray*}$ ?!?!?

Und wenn (was ich sehr hoffe), das Ergebnis tatsächlich $\begin{eqnarray*} \delta ^{2} \end{eqnarray*}$ ist dann die endgültige Antwort:
Die Funktion ist im Punkt a = 1 stetig, mit $\begin{eqnarray*} \delta ^{2} \end{eqnarray*}$ ??

Wie würde es aussehen, wenn die Funktion nicht stätig ist, also was wäre dann das "Ergebnis", gäbe es dann kein $\begin{eqnarray*} |x^2 - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

03.05.2011, 19:12

Huy

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Zitat:

Original von lisu
lautet das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \delta ^{2} \end{eqnarray*}$ ?!?!?

Wie kommst du darauf?

Zitat:

Wie würde es aussehen, wenn die Funktion nicht stätig ist, also was wäre dann das "Ergebnis", gäbe es dann kein $\begin{eqnarray*} |x^2 - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

Dann gäbe es kein solches Epsilon, richtig.

MfG

03.05.2011, 19:25

lisu

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da ich zeigen soll:
$\begin{eqnarray*} |x^2 - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$

und ich weiß das $\begin{eqnarray*} |x - 1| < \delta \end{eqnarray*}$

Dein Tipp "dass auf der rechten Seite etwas wie 2*delta stehen muss", hat mich darauf gebracht.
...wie genau es aber bei komplizierteren Aufgaben ist, werde ich sehen. Ich glaube nicht das ich es da auch so einfach raus sehe.

Und wenn es kein Epsilon gibt, dann ist die Funktion in dem Punkt a auch nicht stetig, oder?

ich mach jetzt mal die Aufgabe: f: R -> R , f(x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Die werde ich dann auch hier posten, mal sehen ob's klappt.

03.05.2011, 19:32

lisu

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also für f: R -> R , f(x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Gilt mit dem Delta-Epsilon-Kriterium:
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0: |x-x_0| < \delta \implies |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon \; \forall x \end{eqnarray*}$ .

1) Schritt: Werte einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0: |x-1| < \delta \implies |\sqrt{x}-\sqrt{1}| < \varepsilon \; \forall x \end{eqnarray*}$ .

2) Schritt: überspitzt gesagt "Epsilon mit Delta ersetzen"

--> es ist ""ersichtlich"", dass mit einem $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ der Beweis vollbracht ist und die Funktion deshalb im Punkt a = 1 stetig ist.

Richtig?!?

04.05.2011, 13:56

lisu

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Könnte mir vielleicht wer sagen, ob die oben angeführte Rechnung stimmt

Danke & LG

04.05.2011, 14:00

Huy

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1. Was da oben steht, ist keine Rechnung.
2. Der Beweis stimmt nicht, da du noch immer nicht verstanden hast, was du überhaupt machen musst.

Was du überhaupt machen musst, habe ich dir mehrfach versucht zu erklären, aber irgendwie kommen wir nicht vom Fleck.

MfG

04.05.2011, 17:16

lisu

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also war meine Rechnung mit x^2 auch falsch.

...neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} | f(x) - f(x_0) | < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | x^{2} - x_0^{2} | < \epsilon \end{eqnarray*}$

und jetzt muss ich es so umstellen, dass linkst nur noch:
$\begin{eqnarray*} | x - x_0 | < \epsilon \end{eqnarray*}$ stehen bleibt, damit ich sagen kann was \delta ist (da $\begin{eqnarray*} | x - x_0 | < \delta \end{eqnarray*}$ )

richtig?!

04.05.2011, 17:26

lisu

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durch einsetzen:

$\begin{eqnarray*} | x^{2} - 1^{2} | < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | x - 1 | * | x + 1 | < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | x - 1 | < \frac{\epsilon}{| x + 1 |} \end{eqnarray*}$

04.05.2011, 17:37

Huy

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Zitat:

Original von lisu
$\begin{eqnarray*} | x^{2} - 1^{2} | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das hier willst du ZEIGEN. Du schreibst es auf die erste Zeile, d.h. du nimmst es schon an. Du hast nirgends GEZEIGT, dass dies gilt.

MfG

04.05.2011, 17:40

lisu

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$\begin{eqnarray*} | x - 1 | < \frac{\epsilon}{| x + 1 |} \end{eqnarray*}$

Ist es richtig, dass hier nun auf der "rechten Seite" kein x stehen darf?

Wie bekomm ich das weg, bzw. wie verfahre ich weiter. In anderen Threats steht etwas über "Dreiecksungleichung", kann mir wer sagen wie ich die hier anwende?

04.05.2011, 17:57

lisu

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dann beginne ich so:

$\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ (Das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ muss ich ja später durch $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ausdrücken)

$\begin{eqnarray*} |x^2-x_0^2| = |x+x_0||x-x_0| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Mit der letzten Ungleichung rechne ich weiter:
$\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \frac{\varepsilon}{|x+x_0|} \end{eqnarray*}$

korrekt?

Nun hackt es aber an der "Dreiecksungleichung", oder gibt es einen anderen Weg hier weiter zu machen?

04.05.2011, 19:04

lisu

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ich glaube mir fehlt nur noch das kleine Puzzelstück, wie ich:

$\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \frac{\varepsilon}{|x+x_0|} \end{eqnarray*}$

"umgestalte". ....hat irgendeiner noch einen Tipp?

04.05.2011, 20:10

lisu

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hat keiner einen Rat?

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