Beweis Maß

03.05.2011, 18:48	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Maß Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{F}) \end{eqnarray}$ ein Maßraum und P und Q seien Maße auf $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{F}) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass für beliebiges $\begin{eqnarray} \alpha\in [0,1] \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \tilde P(A)=\alpha\cdot P(A)+(1-\alpha)\cdot Q(A), A\in \mathcal{F} \end{eqnarray}$ ein Maß auf $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{F}) \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Zu zeigen sind die Normierung (N) und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Additivität (A). (N): $\begin{eqnarray} \tilde P(\Omega)=\alpha\cdot P(\Omega)+(1-\alpha)\cdot Q(\Omega) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\alpha+1-\alpha=1 \end{eqnarray}$ , da P und Q nach Voraussetzung Maße sind und daher ihrerseits (N) erfüllen, d.h. $\begin{eqnarray} P(\Omega)=Q(\Omega)=1 \end{eqnarray}$ . (A): Seien $\begin{eqnarray} A_1,A_2,\hdots \in \mathcal{F} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A_1,A_2,\hdots \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt. $\begin{eqnarray} \tilde P(\bigcup_{n\geq 1} A_n)=\alpha\cdot P(\bigcup_{n\geq 1} A_n)+(1-\alpha)\cdot Q(\bigcup_{n\geq 1} A_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\alpha\cdot \left(\sum_{n\geq 1} P(A_n)\right)+(1-\alpha)\cdot \left(\sum_{n\geq 1} Q(A_n)\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left(\sum_{n\geq 1} \alpha\cdot P(A_n)\right)+\left(\sum_{n\geq 1} (1-\alpha)\cdot Q(A_n)\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{n\geq 1} \alpha\cdot P(A_n)+(1-\alpha)\cdot Q(A_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{n\geq 1} \tilde P(A_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Aus den Eigenschaften (N) und (A) folgt, dass $\begin{eqnarray} \tilde P \end{eqnarray}$ ein Maß auf $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{F}) \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} \Box \end{eqnarray}$ Ist dies so korrekt?
03.05.2011, 19:37	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das was du gemacht hast ist alles gut . Leider zeigt das noch nicht dass es ein Mass ist. Damit eine $\begin{eqnarray} \tilde{P} \end{eqnarray}$ ein Mass sein kann, musst du zeigen dass (i) $\begin{eqnarray} \tilde{P}(\emptyset)=0 \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} \tilde{P}(A)\geq0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A\in\mathcal F \end{eqnarray}$ (iii) $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Additivität. Das Letzte das du gezeigt, die ersten beiden musst du noch überprüfen. Ich denke mal du sollst zeigen dass $\begin{eqnarray} \tilde{P} \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsmass ist. Dazu braucht man noch zusätzlich $\begin{eqnarray} \tilde{P}(\Omega)=1 \end{eqnarray}$ - und das hast du getan.
03.05.2011, 19:57	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will Deinen Hinweis sehr gerne berücksichtigen. Aber in meinem Stochastikbuch (Georgii: "Stochastik") ist nur von den Eigenschaften, die ich gezeigt habe die Rede und heute in der Vorlesung hat der Professor (bezüglich eines anderen Beispiels) beim Beweis, dass es sich um ein Maß handelt, auch nur diese beiden Eigenschaften nachgewiesen. Daher bin ich etwas verwundert.
03.05.2011, 20:04	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das ist jedenfalls die Definition die ich kenne. Vielleicht kann man das abschwächen, auch wenn ich davon noch nicht gehört habe. Jedenfalls sind die Punkte (i) und (ii) meiner Definition trivial zu überprüfen .
03.05.2011, 20:06	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Für (i) und (ii) benutzt man auch einfach, dass ja P und Q Maße sind, korrekt? Dann ergibt sich das ganz einfach.
03.05.2011, 20:15	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau.
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03.05.2011, 20:19	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dir!

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