Supremum einer Mengenmultiplikation

03.05.2011, 20:39

Shizorano

Supremum einer Mengenmultiplikation

Meine Frage:
Hallo,
unser Prof möchte folgendes von uns wissen:
$\begin{eqnarray*} sup(A)*sup(B) \leq sup(A*B) \end{eqnarray*}$
wobei A und B nicht-leere und beschränkte Mengen sind und
A*B := {a*b aus R mit a aus A und b aus B}

Meine Ideen:
Ich habe als Ansatz gezeigt, dass max(A) = sup(A) und max(B) = sup(B).
Hatte auch schon einen Gedanken in Richtung wiederspruchsbeweis, nur will der Funke bei mir nicht wirklich überspringen. =(

PS: Liege ich richtig, wenn ich behaupte, dass sup(A*B) = max(A)*max(B) ist?

03.05.2011, 23:24

Hubert1965

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Wie kommst du auf max(A) = sup(A) ?
Wenn z.B. A die Menge aller negativen reellen Zahlen ist, dann hat diese Menge zwar ein Supremum (nämlich 0), aber kein Maximum, denn zu jedem vermeintlichen Maximum findet man ein anderes Element aus der Menge, das noch größer ist (nämlich z.B. dessen Hälfte).

Wenn eine Menge beschränkt ist, hat sie ein Infimum und ein Supremum. Sie muss aber nicht notwendigerweise ein Minimum oder ein Maximum haben. Sollte ein Minimum existieren, ist es automatisch mit dem Infimum identisch. Falls ein Maximum existiert, ist es mit dem Supremum identisch.

03.05.2011, 23:59

Roman Oira-Oira

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Hast Du dir eigentlich schon mal klar gemacht, warum es sich hier um eine Ungleichung handelt (und nicht um eine Gleichung)?

Denk dir doch mal ein Beispiel aus, bei dem tatsächlich nur die <-Beziehung gilt. Und mache dir dann klar, wie bzw. woraus sich das Supremum von A*B zusammensetzt.

Das dürfte dann auch zu einer Beweisidee führen.

04.05.2011, 06:26

Shizorano

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Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
Denk dir doch mal ein Beispiel aus, bei dem tatsächlich nur die <-Beziehung gilt. Und mache dir dann klar, wie bzw. woraus sich das Supremum von A*B zusammensetzt

genau daleigt ja mein Problem! Wenn die Menge A*B die Multiplikation aller Elemtente aus A und B, werden die beiden jeweils größten doch das größte Element in A*B bilden, oder nicht?

04.05.2011, 08:59

Hubert1965

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Zitat:

Original von Shizorano
Wenn die Menge A*B die Multiplikation aller Elemtente aus A und B, werden die beiden jeweils größten doch das größte Element in A*B bilden, oder nicht?

Nein, das tun sie nicht zwangsweise.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A = B = \{ x \in \mathbb R | -2 \leq x \leq -1 \} \end{eqnarray*}$

Du wirst feststellen, dass dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sup(A) \cdot \sup(B) = (-1) \cdot (-1) = 1 \quad \neq \quad \sup(A \cdot B) = (-2) \cdot (-2) = 4 \end{eqnarray*}$

04.05.2011, 13:30

Shizorano

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Also ich hab mir jetzt folgendes überlegt:

Sei x := sup(A) und y := sup(B).
Nun gilt: $\begin{eqnarray*} a \leq x \forall a \in A \wedge b \leq y \forall b \in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a*b \leq x*y \Rightarrow \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a*b \in A*B \Rightarrow x*y = sup(A*B) \end{eqnarray*}$

Das wäre doch die Schluffolgerung für x,y > 0, oder?
wie mache ich das jetzt mit x,y verschiedene Vorzeichen und x,y < 0?

04.05.2011, 17:03

Hubert1965

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Zitat:

Original von Shizorano
Also ich hab mir jetzt folgendes überlegt:

Sei x := sup(A) und y := sup(B).
Nun gilt: $\begin{eqnarray*} a \leq x \forall a \in A \wedge b \leq y \forall b \in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a*b \leq x*y \Rightarrow \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a*b \in A*B \Rightarrow x*y = sup(A*B) \end{eqnarray*}$

Das wäre doch die Schluffolgerung für x,y > 0, oder?

Nein, eben nicht!

Neues Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A = B = \{ x \in \mathbb R | -2 \leq x \leq +1 \} \end{eqnarray*}$

Du wirst feststellen, dass nun sowohl x=+1>0 als auch y=+1>0.
Trotzdem gilt:

$\begin{eqnarray*} \sup(A) \cdot \sup(B) = (+1) \cdot (+1) = 1 \quad \neq \quad \sup(A \cdot B) = (-2) \cdot (-2) = 4 \end{eqnarray*}$

Versuche dir selbst weitere Beispiele auszudenken!

04.05.2011, 18:21

Shizorano

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willst du darauf hinaus, dass sobald negative Zahlen in den Mengen enthalten sind, die Ungleichheit gilt?

04.05.2011, 21:20

Hubert1965

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Zitat:

Original von Shizorano
willst du darauf hinaus, dass sobald negative Zahlen in den Mengen enthalten sind, die Ungleichheit gilt?

Nicht unbedingt.
Ich habe in meinen Beispielen aufgrund der besseren Anschauung Mengen verwendet, deren Elemente Zahlen sind. Wenn ich deine Angabe richtig verstehe, ist das aber gar nicht gefordert.

Gefordert ist nur:

Menge A ist nicht leer
Menge B ist nicht leer
Menge A ist beschränkt
Menge B ist beschränkt
Man kann jedes Element der Menge A mit jedem Element der Menge B multiplizieren.
Die Menge, die aus allen Multiplikationsresultaten besteht (ich nenne sie "C"), hat ein Supremum und ist daher auch beschränkt (Zumindest nach oben; nach unten darf sie unbeschränkt sein)

Damit eine Menge Schranken haben kann, muss auf ihr eine Halbordnung bestehen, mehr ist gar nicht notwendig.

Die Multiplikation ist eine innere Verknüpfung, daher müssen A, B und C Teilmengen derselben Menge sein, die ich M nenne.

M könnte beispielsweise die Menge aller dreidimensionalen Vektoren sein.
Als Multiplikation wähle ich das Kreuzprodukt.
Die Halbordnung, die erforderlich ist um ein Supremum definieren zu können, möge durch die Relation "Komponentenweise kleiner oder gleich" definiert sein. Das Supremum ist dann jener Vektor, bei dem jede der drei Komponenten das Supremum der jeweiligen Dimension ist. (Dieses Beispiel zeigt, dass es auch endliche Mengen gibt in denen es kein Maximum, sondern "nur" ein Supremum gibt)

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