Gruppe - Gruppendefinition

03.05.2011, 21:33

Olivia1991

Gruppe - Gruppendefinition

Meine Frage:
Wir haben folgende Gruppendefinition:
G ist eine nichtleere Menge und es gibt eine Abbildung

G x G --> G
(g1, g2) |--> g1 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ g2

mit folgenden Eigenschaften:

1) Assoziativgesetzt
2) Existenz des neutrales Elements
3) Existenz des Inversen.

Wir sollen nun ausschließlich diese Def zur Argumentation für folgende Aufgabe nutzen:

Sei G Gruppe mit |G| = 4, a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G mit $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ e.

Jetzt sollen wir zeigen, dass dann G={e, a, $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a^{3} \end{eqnarray*}$ } ist.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist vielleicht etwas umständlich. Ich habe angefangen zu zeigen, dass G={e, a, $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a^{3} \end{eqnarray*}$ } eine Gruppe ist, und will dann daraus folgern, dass es die einzig mögliche Gruppe ist, die die Voraussetzungen erfüllt.

Bis jetzt habe ich gezeigt, dass für "+" und "." die Assoziativität gilt, G also eine Halbgruppe ist.

Dann wollte ich zeigen, dass G ein Monoid ist, dass also für "+" und "." das neutrale Element existiert. Das habe ich gezeigt indem ich für e einmal 1 und einmal 0 gesetzt habe. Aber darf ich das einfach machen?

Und dann weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass es für diese 4 Elemente jeweils das Inverse in dieser vierelementigen Gruppe gibt.

(Ich hoffe ich habe die Aufgabe auch richtig verstanden.)

Für ein paar Tips wäre ich sehr dankbar!

03.05.2011, 21:40

zweiundvierzig

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Mal als instruktiver Tipp: Du solltest schon eine konkrete Gruppe der Ordnung 4 kennen, welche im wesentlichen genau diejenige ist, die Du jetzt konsturieren willst.

03.05.2011, 21:54

Olivia1991

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Naja genau da komme ich nicht weiter. Ich nicht eben nicht, welche konkrete Gruppe das sein soll.

03.05.2011, 21:55

zweiundvierzig

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Welche Gruppen der Ordnung 4 kennst Du denn?

03.05.2011, 22:16

Olivia1991

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Keine. Also zumindest weiß ich einfach nicht, was ich mir da konkret vorstellen soll. Habe bis jetzt nicht viel mehr darüber gehört als die Definition und ein paar Eigenschaften von Gruppen.

03.05.2011, 22:40

zweiundvierzig

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Okay, dann gehe ich erstmal auf Deine Ansätze ein. Später werden wir dann sehen, woraf das alles hinausläuft.

Vorab: auf einer Gruppe betrachtet man jeweils nur eine einzige Verknüpfung (abstrakt meistens " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " geschrieben). Du kannst also hier nicht noch zusätzlich eine Operation + betrachten.

Die Vorassetzung ist, wir haben eine Menge Mächtigkeit 4 mit einer Gruppenstruktur gegeben. Dort existiert ein $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2 \neq e \end{eqnarray*}$ . Welche Elemente liegen nun außer $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ noch in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ?

03.05.2011, 22:51

Olivia1991

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Na dann ist e=1 und weitere Elemente neben e und a sind a^2 und a^3.
Aber ich weiß trotzdem nicht, was da jetzt das Inverse zu irgendwas sein soll.

Es soll ja so sein:

$\begin{eqnarray*} \forall \alpha \in G\exists b \in G : a \cdot b = b \cdot a = e \end{eqnarray*}$

03.05.2011, 22:52

Olivia1991

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Ist dann z.B. b=a^3 ? Wenn ich das auf die Gruppe beziehe?

03.05.2011, 23:01

zweiundvierzig

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Wenn Du meinst, dass $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ invers ist, ja. Um das zu Beweisen, überlege Dir, warum $\begin{eqnarray*} a^4 \end{eqnarray*}$ keines der anderen Elemente sein kann.

Mit dem Wissen $\begin{eqnarray*} a^4 = 1 \end{eqnarray*}$ kannst Du auch das Inverse zu $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

03.05.2011, 23:15

Olivia1991

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Woher weiß ich denn dass a^4=1 ist?

03.05.2011, 23:22

zweiundvierzig

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Das Element $\begin{eqnarray*} a^4 \end{eqnarray*}$ muss auf jeden Fall in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegen. Warum?

Wenn wir das wissen, müssen wir also fragen: Kann $\begin{eqnarray*} a^4 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} a, ~ a^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ sein? Dies ist jeweils nicht der Fall, was aber noch gezeigt werden muss. Nehmen wir etwa an, $\begin{eqnarray*} a^4 = a^3 \end{eqnarray*}$ . Was würde folgen?

03.05.2011, 23:28

Olivia1991

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Dann wäre a^4=a^3=a^2=1, was ja der Voraussetzung widerspricht. Oder meintest du was anderes?
Ich merke ich werde eindeutig zu müde, um darüber nachzudenken.
Schonmal vielen, vielen Dank für die Hilfe!!
Werde mich morgen weiter damit beschäftigen.

03.05.2011, 23:36

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Olivia1991
a^4=a^3=a^2=1

Nicht ganz, erstmal nehmen wir hypothetisch bloß $\begin{eqnarray*} a^4 = a^3 \end{eqnarray*}$ an, aber daraus folgt in der Tat schon ein Widersprch. Das explizite Argument kannst Du Dir bis morgen ja überlegen. Die anderen auszuschließenden Fälle funktionieren vom Prinzip her genauso. Wink

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