Taylor-Entwicklung

08.12.2006, 13:04	kleinerTaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Entwicklung Hallo Leute. Komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Vielleicht nenn ich am besten mal die Aufgabe: Ermitteln sie mit Hilfe einer Taylor Entwicklung die Werte von $\begin{eqnarray} \alpha , \beta , \gamma \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von h und k so, dass der Ausdruck $\begin{eqnarray} \alphau(x-k)+ßu(x)+\gammau(x+h) \end{eqnarray}$ eine Approximation der zweiten Ableitung u''(x) ist. Dabei sollen h, k > 0 sein und u hinreichend glatt. Wie fange ich da an? Irgendwie in der Form $\begin{eqnarray} \alphau(x-k)+ßu(x)+\gammau(x+h) - u''(x) \end{eqnarray}$ soll kleiner als irgendwas sein... Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte. Schönen Gruss KT
09.12.2006, 16:33	stef123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mit der Approximation von $\begin{eqnarray} u(x-k) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} u(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u(x+h) \end{eqnarray}$ durch ein Taylerpolynom 2. Grades anfangen. Das Taylerpolynom 2. Ordnung von der Funktion $\begin{eqnarray} u(z) \end{eqnarray}$ mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ ist ja bekanntlich $\begin{eqnarray} u(z)=u(z_0)+u'(z_0)(z-z_0)+0.5u''(z_0)(z-z_0)^2 \end{eqnarray}$ z.B. Bei $\begin{eqnarray} u(x-h) \end{eqnarray}$ setzt du jetzt $\begin{eqnarray} z_0=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=x-h \end{eqnarray*}$ . Das setzt du in deine Ausgangsgleichung ein und dann schau dir mal die Koeffizienten vor u(x) und den Ableitungen an. Koeffizientenvergleich!
10.12.2006, 22:28	kleinerTaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
danke habe das dann so gemacht, hoffe ich habe es richtig gemacht ersetze also z = x -k bzw. x+h und wähle z_0 als x. $\begin{eqnarray} u(x-k) = u(z) = u(x)+u'(x)(x-k-x) +0,5u''(x)(x-k-x)^2 = u(x)-ku'(x) +0,5k^2u''(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x+h) = .... = u(x)+hu'(x) +0,5h^2u''(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x) = u(x) ??? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alphau(x-k)+ßu(x)+\gammau(x+h) = \alpha(u(x)-ku'(x) +0,5k^2u''(x))+ßu(x)+\gamma(u(x)+hu'(x) +0,5h^2u''(x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha +\beta + \gamma \end{eqnarray}$ <<< koeff. vor u(x) $\begin{eqnarray} -k\alpha + h\gamma \end{eqnarray}$ <<< koeff. vor u'(x) $\begin{eqnarray} 0,5k^2\alpha + 0,5h^2\gamma \end{eqnarray*}$ <<< koeff. vor u''(x) koeff. vor u(x) muss 0 sein koeff. vor u'(x) muss 0 sein koeff. vor u''(x) muss 1 sein, denn der ausdruck soll ja gleich u''(x) sein. Ich erhalte ein wohlbestimmtes lineares GLS, was ich anschließen lösen muss. Hoffe das es richtig ist. Schönen Gruss KT
11.12.2006, 08:42	kleinerTaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, bin mir etwas unsicher, ob u(x) als Taylorpolynom 2. Ordnung wirklich gleich u(x) ist. vielleicht ist u(x) praktisch das ganze was du für u(z) geschrieben hast. würde dann z_0 = 0 setzen. da ich die nur die zweite Ableitung von u(x) haben will und bei der Approx. von u(x) kein u(x), u'(x) noch u''(x) vorkam, muss $\begin{eqnarray} \beta = 0 \end{eqnarray}$ sein
11.12.2006, 16:09	stef123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit u(x) ist ein bisschen verwirrend, weil x Variable und bei der gewählten Taylorentwicklung Entwicklungspunkt. Deswegen habe ich oben, den Entwicklungs erstmal z genannt. Bei u(x-k) und u(x+h), hast du ja als Entwicklungspunkt x gewählt, Wenn du dasselbe mit u(x) machst erhälst du: $\begin{eqnarray} u(x)=u(x)+u'(x)(x-x)+0.5u''(x)(x-x)^2=u(x) \end{eqnarray*}$ Eigentlich kann man die Rechnung auch lassen . P.S.: Ich glaube das Gleichungssystem hatte ich beim Rechnen auch!
11.12.2006, 17:23	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo kleinerTaylor! Wenn du $\begin{eqnarray} k=h \end{eqnarray}$ wählen darfst, gibt es eine einfache Lösung. $\begin{eqnarray} (1):f(x_0+h)= f(x_0)+ f'(x_0)h+ \frac{1}{2} f''(x_0)h^2+ o(h^3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2):f(x_0-h)= f(x_0)- f'(x_0)h+ \frac{1}{2} f''(x_0)h^2+ o(h^3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1)+ (2): f(x_0+h)+ f(x_0- h)= 2f(x_0)+ f''(x_0)h^2+ o(h^3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x_0)= \frac{f(x_0-h) - 2f(x_0) + f(x_0+ h)}{h^2} + o(h^3) \end{eqnarray}$ Das kleine $\begin{eqnarray} o \end{eqnarray}$ ist das LANDAU-Symbol. Gruss yeti
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11.12.2006, 19:35	kleinerTaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke. Habe dann so weitergemacht, Lösung gebe ich hier nur zum Vergleich an! (1) $\begin{eqnarray} \alpha + \beta + \gamma = 0 \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} -k\alpha + h* \gamma = 0 \end{eqnarray}$ (3) $\begin{eqnarray} 0,5k^2\alpha + 0,5h^2 \gamma = 1 \end{eqnarray}$ ------------------------- 0,5kGl. (2)+ Gl. (3) = $\begin{eqnarray} 0,5h* (k+h)\gamma = 1 \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \gamma = \frac{2}{h(k+h)} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{2}{k(k+h)} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \beta = \frac{-2}{kh} \end{eqnarray*}$ danke nochmal, hab dann alles verstanden Gruss KT

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