Parsevalsche Gleichung

03.05.2011, 22:38	Wilton	Auf diesen Beitrag antworten »
Parsevalsche Gleichung Hi, ich will die Parsevalsche Gleichung $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|^{2} = \sum\limits_{i=1}^n \|<q_{i},v>\|^{2} \end{eqnarray}$ bei Orthonormalbasen beweisen. Und glaub, dass ich dafür irgendwie die allgemeine Linearkombinationsformel $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{i=1}^n \alpha _{i} q_{i} \end{eqnarray}$ benötige. Finde aber leider keinen Ansatz. Danke für Tipps.
04.05.2011, 12:07	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parsevalsche Gleichung Hallo Wilton, Es gibt hier doch noch mehr Linearkombinationen. Zum Beispiel lässt sich $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ja auch bezüglich der Standardbasis darstellen: $\begin{eqnarray} v=\sum_{j=1}^n\lambda_je_j \end{eqnarray}$ Ebenso die $\begin{eqnarray} q_i \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} q_i=\sum_{k=1}^n\beta_{ik}e_k \end{eqnarray}$ Dadurch, dass die $\begin{eqnarray} q_i \end{eqnarray}$ eine ONB billden, ist die Matrix der $\begin{eqnarray} \beta_{ik} \end{eqnarray}$ auch orthogonal. Damit und mit einiger Rechnerei lässt sich das Ergebnis beweisen. Gruß, Reksilat.
04.05.2011, 15:26	Wilton	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es gelöst indem ich die Orthogonalentwicklung auf eines der beiden v's auf der linken Seite angewendet habe: $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{k=1}^n <q_{k},v>q_{k} \end{eqnarray}$
04.05.2011, 16:02	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Damit geht's einfacher.

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