Orthogonalität und Vektornorm

03.05.2011, 23:03	GLn	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalität und Vektornorm Sei (V,< , >) ein euklidischer Vektorraum und x, y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ V. a) Zeigen sie: Es gilt x orthogonal zu y <=> \|\| x + y \|\|² = \|\| x \|\|² + \|\| y \|\|² b) Was hat diese Aussage mit dem Satz des Phythagoras zu tun? Bei a) ist eine Äquivalenz zu zeigen. Habe bei beiden Richtungen Probleme. "=>" Es gelte x orthogonal y. D.h. <x,y> = 0. Also auch insbesondere $\begin{eqnarray} \sqrt{<x,y>} \end{eqnarray}$ und ( $\begin{eqnarray} \sqrt{<x,y>} \end{eqnarray}$ )² Ich muss kommen auf \|\| x + y \|\|² = \|\| x \|\|² + \|\| y \|\|² Im eukldischen VR: \|\| x + y \|\|² = ( $\begin{eqnarray} \sqrt{<x+y , x+y>} \end{eqnarray}$ )² = \|<x+y , x+y>\| analog \|\| x \|\|² = \|<x , x>\|, \|\| y \|\|² = \|<y , y>\| Ich weiß nun nicht mehr weiter. Was kann ich noch argumentieren? Ich weiß: V euklidisch => < , > symmetrisch und positiv definit V euklidisch => existiert Orthonormalbasis B "<=" ist trivial, wenn ich folgendes beweisen könnte: \|\| x + y \|\|² = \|\| x \|\|² + \|\| y \|\|² + 2<x,y> Angenommen, ich habe richtig gerechnet, kam ich so weit: \|\| x + y \|\|² = \|\| x \|\|² + \|\| y \|\|² + 2\|\|x\|\| * \|\|y\|\| Da weiß ich aber nicht mehr weiter :/ Zu Teil b) Der Satz des Pythagoras ist mir bekannt; wenn die Vektoren Rechtwinklig aufeinander stehen, wäre $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ ² + $\begin{eqnarray} \vec{y} \end{eqnarray}$ ² = $\begin{eqnarray} \vec{y-x} \end{eqnarray}$ ² ist das gemeint? Oder will der Aufgabensteller mehr / was anders?
04.05.2011, 13:53	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalität und Vektornorm Zu a): In einem eukl. VR ist $\begin{eqnarray} \\|x+y\\|^2=\langle x+y,x+y\rangle \end{eqnarray}$ . Nun ziehe das Skalarprodukt doch mal ein wenig auseinander. Nutze dazu die Linearität in beiden Argumenten. Zu b): Was soll denn das Quadrat von Vektoren sein? Zeichne doch mal in ein Koordinatensystem zwei orthogonale Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec y \end{eqnarray}$ und versuche ein Dreieck draus zu machen. Dann musst Du noch ein wenig mit den Vorzeichen rumspielen – bedenke, dass $\begin{eqnarray} \\|y\\|=\\|-y\\| \end{eqnarray}$ ist. Gruß, Reksilat.
04.05.2011, 15:39	GLn	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Auseinanderziehen fällt mir bei dem abstrakten Skalarprodukt leider schwer - ich weiß nicht wie ich das mache. Bei "<=" das selbe Problem, ich weiß nicht, was ich aus <x,y> machen soll. Bei b) fehlte natürlich die Norm bei den Vektoren
04.05.2011, 15:57	GLn	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Bosch - Lineare Algebra Buch finde ich: <x + y, x + y> = <x, x> + 2 <x, y> + <y, y> Ich verstehe aber nicht, wie / warum man das so rausziehen kann. Gehen tuts aufgrund der Linearität.
04.05.2011, 16:01	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist <x+y,x+y> = <x+y,x> + <x+y,y> Einfach aufgrund der Linearität im zweiten Argument. Jeden dieser Summanden kann man dann wieder zerlegen als: <x+y,x= <x,x> + <y,x>
04.05.2011, 16:13	GLn	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Für "=>" würde dann einfach reichen, wenn ich \|\| x + y \|\|² = \|\| x \|\|² + \|\| y \|\|² + 2<x,y> umstelle nach <x,y> = 0.5 ( \|\|x+y\|\|² - \|\|x\|\|² - \|\|y\|\|² ) <x,y> nach Vorr. 0 => Behauptung? Sieht so einfach aus ^^
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04.05.2011, 16:18	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du \|\| x + y \|\|² = \|\| x \|\|² + \|\| y \|\|² + 2*<x,y> nach dem Auflösen des Skalarprodukts hast, dann fällt der Term <x,y> wegen der Orthogonalität weg und die Behauptung steht da. Das Umstellen nach <x,y> hilft Dir bei der Rückrichtung.

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