Schnittgerade 2er Ebenen!

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04.05.2011, 01:17	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade 2er Ebenen! Hallo zusammen. Hatte vor ein paar Tagen schon mal das gleiche gepostet, hatte dann aber Probleme mit dem Internet und mach es deswegen nochmal. Folgendes Problem: ich hab 2 Ebenen in Parameterform. Und dazu auch ein Ergebnis was rauskommen müsste. Zusätzlich besitze ich ein Programm das so etwas auch berechnen kann. Wenn ich in das Programm die 2 Ebenen in Parameterform eingeben bekomm ich genau das gleiche Ergebnis wie in der Lösung. Toll Wenn ich die Ebene aber in Koordinatenform umwandle (Hab mit dem Programm auch überprüft ob meine Berechnungen stimmen) kommt eine andere Gerade raus. Ist das ok? Warum passiert das? Ich hab so im Hinterkopf das bei der Umwandlung informationen verloren gehen, nagelt mich aber nicht auf diese Aussage fest. so jetzt zu den beiden Ebenen: E:x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} r \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ F: x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} r \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Koordinatenform sieht wie folgt aus: E:x = 2x1 + 2x2 -2 = 0 F:x = -2x1 -x3 +3 = = Ergebnis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 1 \end{pmatrix} s \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In Koordinatenform lautet das Ergebnis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} * s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mein Ergebniss das ich erechnet habe lautet (ich verwende auch die Koordinatenform): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} * s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich rechne wie folgt: zunächst natürlich überprüfen identisch, parallel oder schneiden $\begin{eqnarray} ne \times nf = \vec{RV} \end{eqnarray}$ also Richtungsvektor der Geraden anschließend wird der Aufpunkt bestimmt: wird in beide Ebenen der $\begin{eqnarray} \vec{OV} = \begin{pmatrix} 1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und x2 und x3 berechnet Das ist dann auch der Aufpunkt 1 und die Werte die ich für x2 und x3 berechne! Was ich aber sehr seltsam finde, da der Aufpunkt immer die x1 Koordinate 1 hätte?????
04.05.2011, 02:17	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Koordinatenform von E stimmt leider nicht, deshalb bekommst Du bei Deinen weiteren Berechnungen falsche Ergebnisse. Die x1-Koordinaten der Ortsvektoren der Ebenengleichungen in Parameterform stimmen zwar überein, dies muß aber keineswegs für den Ortsvektor der Schnittgeradengleichung gelten. Edit: Und bitte alle * in den Ebenen- und Geradengleichungen durch + ersetzen.
04.05.2011, 02:53	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt bei E kommt +2 nicht -2. Und des mit dem * mach ich hier grundsätzlich falsch! ich rechne nochmal nach Da stimmt mehr nicht! sorry
04.05.2011, 03:03	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Während Du die Ebenengleichung nachrechnest ( es muß eine x3-Koorinate vorkommen) kann ich einen weiteren Tip schreiben: Wenn Du mehrere Ebenen- und Geradengleichungen hast, benenne die Parameter nicht immer mit "r" und "s", sondern nutze andere Buchstaben. Sonst kommt man völlig durcheinander.
04.05.2011, 03:32	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
E: x = -x1 -x2 - 2x3 + 5 = 0 F: x = -2x1 - x3 +3 = 0 Müsste jetzt stimmen. Aber ich komme trotzdem nicht auf das richtige Ergebnis: Der RV ist der Gerade ist Richtig aber der Aufpunkt passt nicht. Mein Ergebnis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -14 \\ -5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich bin langsam mit meinem Latein am Ende, ich hab schon 10 verschieden Variante ausprobiert und komm meistens auf parallele der Geraden aber selten auf den richtigen Aufpunkt. Hast du vielleicht nen Königsweg wie man sowas berechnet: Noch genau zu meinem Rechen weg. Ich hab also die beiden Ebenen in Koordinatenform. Und dort hab ich jetzt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein. DAnn komm ich auf die 2 Gleichungen: -1 - x2 - 2x3 = 5 und -2 -x3 =3 dann hab ich schon mal x3 = -5 wenn ich das wieder einsetze bekomm ich für x2 = -14 Der Aufpunkt sollte aber $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein und nicht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -14 \\ -5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
04.05.2011, 03:55	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ebenengleichungen stimmen jetzt. Dafür hast Du nun einen Vorzeichenfehler im Richtungsvektor der Geraden. Richtig ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für die Berechnung des Aufpunktes ist x1=1 nicht selbstverständlich, dies ist bei dieser Aufgabe nur Zufall.
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04.05.2011, 04:17	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
ok! ABer wie mach ich es dann Richtig?? ich hab echt keine Ahnung mehr wie ich es dann machen soll. Ich hab diese Variante von der Seite Oberprima, falls dir das was sagen sollte. Eigentlich eine echt tolle Seite nur kann sie mir nicht helfen. Wie muss ich vorgehen damit ich den richtig Aufpunkt raus bekomme????
04.05.2011, 14:08	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich setze den Aufpunkt in der Form (a\|b\|c) in beide (leicht veränderte) Koordinatengleichungen ein: $\begin{eqnarray} a+b+2c=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2a+c=3 \end{eqnarray}$ c=3-2a in die erste Gleichung eingesetzt und zusammengefasst ergiebt: $\begin{eqnarray} b=-1+3a \end{eqnarray}$ Nun suche ich mir willkürlich einen wert für a aus, z. B. a=1. Diese Willkür hat zur Folge, daß viele verschiedene Aufpunkte möglich sind. a=1 führt zu b=2 und c=1. Du hattest nach einem "Königsweg" der Schnittgeraden gefragt, meine Empfehlung ist, die Parameterform einer Ebenengleichung in die Koordinatenform der anderen Ebenengleichung einzusetzen. E in F liefert $\begin{eqnarray} 2(1-s)+2-r=3 \end{eqnarray}$ Diese Gleichung wird dann nach einem Parameter aufgelöst und dieser in die Ebenengleichung eingesetzt. Viel Spaß beim Ausprobieren!
04.05.2011, 14:41	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eben das was ich nicht ganz versteh bzw. mein Problem ist. Diese "Willkür" das ich mir eben eine Koordinate aussuchen. Im Prinzip logisch da ich ja sozusagen ein überbestimmtes Gleichungssystem hab. Weil ich schreib demnächst Schulaufgabe und wenn ich da lauter Parallelen zu dieser Schnittgerade raus bekommen dann wäre das ja nicht so gut. Zum "Königsweg"! Angenommen ich hab beide in Koordinatenform, dann kann ich ja eine in Parameterform umwandeln, da können doch aber auch sehr viele verschieden raus kommen da ich ja in der Koordinatenform das Konstanteglied hab was ja das Skalarprodukt aus Normalenverktor der Ebene und dem Aufpunkt ist. Und wie ich das Konstanteglied erzeuge ist ja wieder meine Sache, also müssten auch hier Parallele zu dieser Gerade raus kommen????
04.05.2011, 15:39	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Willkür führt nicht zu parallelen, sondern zu identischen Geraden. Wir legen uns damit auf einen ihrer unendlich vielen Punkte fest. Dann sehen die Geradengleichungen zwar unterschiedlich aus, beschreiben aber trotzdem ein- und dieselbe Gerade. Wenn Euer Lehrer die Klausuren korrigiert, könnte er bei der Schnittgerade aus Deiner Aufgabe also z.B. die Aufpunkte (1\|2\|1), (2\|5\|-1) oder (1,3\|2,9\|0,4) vorgesetzt bekommen. Daß er diese Punkte dann alle selber nachrechnen muß, soll nicht Dein Problem sein.
04.05.2011, 15:54	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
na dann passts ja! Ich werd mich noch mal an ein paar Aufgaben versuchen. Danke!
04.05.2011, 21:16	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für's Dank und viel Spaß beim Rechnen!

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