Primfaktorzerlegung natürliche Teiler

04.05.2011, 08:05

pegasus0583

Primfaktorzerlegung natürliche Teiler

Meine Frage:
Hallo zusammen. Ich hoffe mir kann wer helfen.
Ich hab folgende Aufgabe:
Seien m,n Element der natürlichen Zahlen, a Element der ganzen Zahlen. Zeigen Sie:

a) Aus m/n folgt $\begin{eqnarray*} (a^{m}-1)/(a^{n}-1) \end{eqnarray*}$
b) Bestimmen Sie 10 verschiedene natürliche Teiler der Zahl $\begin{eqnarray*} 2^{36}-1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich hab leider keinen Ansatz. Vielleicht hat einer ne kleine Anregung.

04.05.2011, 08:44

kiste

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Teilbarkeitsregel zeigen

Die b) lässt sich dann natürlich lösen mit einer Primfaktorzerlegung von 36

04.05.2011, 09:06

pegasus0583

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RE: Primfaktorzerlegung natürliche Teiler
Super danke dir das hat sehr geholfen.

09.05.2011, 11:02

Spaghetti-Frosch

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Hallo, ich klinke mich mal ein.
Die Antwort von Kiste zur b) verwirrt mich etwas: Was soll es denn bringen die PFZ von 36 zu machen? 36 hat als Teiler unter anderem die 2, aber 2 ist kein Teiler von $\begin{eqnarray*} 2^{36}-1 \end{eqnarray*}$ .

Ich hab die Aufgabe gelöst, indem ich die PFZ von $\begin{eqnarray*} 2^{36}-1 \end{eqnarray*}$ teilweise ausgeführt habe, sprich bis zum 4. Schritt.
Im 1. Schritt habe ich die Zahl durch 3 geteilt, im 2. und 3. ebenfalls und im 4. durch 5. Damit habe ich die Teiler $\begin{eqnarray*} 3,3\cdot3,3\cdot3\cdot3,5 \end{eqnarray*}$ , sowie deren Komplementärteiler und natürlich die 1 und die Zahl selbst. Ist die Aufgabe damit nicht schon gelöst?

Lg, Frosch

09.05.2011, 11:11

René Gruber

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Zitat:

Original von Spaghetti-Frosch
36 hat als Teiler unter anderem die 2, aber 2 ist kein Teiler von $\begin{eqnarray*} 2^{36}-1 \end{eqnarray*}$ .

Das hat er ja auch gar nicht behauptet. Bei etwas Mitdenken im Thread sollte klar sein, dass kiste auf die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} t | 36 \;\Rightarrow\; (2^t-1) | (2^{36}-1) \end{eqnarray*}$

anspielt. Und die Primfaktorzerlegung der 36 hilft nun mal, all diese Teiler $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ zu finden.

09.05.2011, 12:00

Spaghetti-Frosch

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Ahh, alles klar, jetzt hats Ding gemacht, dankeschön.

Allerdings wäre ich dir für einen umgänglicheren Umgangston dankbar:

Zitat:

Original von René Gruber
Bei etwas Mitdenken im Thread sollte klar sein,...

Nur weil ich nicht sofort von einem Minimaltipp auf die richtige Lösung schließe, heißt das nicht, dass ich nicht mitdenke. Nicht jedem erschließen sich mathematische Zusammenhänge auf Anhieb. Dafür ist das Forum hier doch auch da oder nicht?

Lg, Frosch

09.05.2011, 12:07

René Gruber

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Ich lasse mir von dir nicht meinen Umgangston vorschreiben.

09.05.2011, 12:40

Spaghetti-Frosch

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Ich will dir nichts vorschreiben, ich habe dich auf was aufmerksam gemacht. Aber deine Art und Weise, wie du auf sowas reagierst finde ich ziemlich bezeichnend, also werde ich mir weitere Ratschläge verkneifen, da sie sowieso auf taube Ohren stoßen werden. Ich finde es nur schade, dass in einem Forum, dass sich durch gegenseitige Hilfe auszeichnen sollte, solche Kommentare fallen müssen

09.05.2011, 13:02

René Gruber

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Ich schreib dir ja auch nicht vor, dass du besser ganz vorsichtig formuliert

Zitat:

Inwieweit hilft die PFZ von 36 bei der Bestimmung der Teiler von $\begin{eqnarray*} 2^{36}-1 \end{eqnarray*}$ ?

statt des polemischen

Zitat:

Original von Spaghetti-Frosch
Was soll es denn bringen die PFZ von 36 zu machen? 36 hat als Teiler unter anderem die 2, aber 2 ist kein Teiler von $\begin{eqnarray*} 2^{36}-1 \end{eqnarray*}$ .

schreiben solltest. Wie man in den Wald hineinruft, so tönt es hinaus.

09.05.2011, 13:03

lgrizu

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Es bleibt in Foren nicht aus, dass sich jemand durch ein Äußerung auf den Schlips getreten fühlt, die aber nicht so boshaft gemeint ist, wie sie vielleicht interpretiert wird.

Bei reinem Schriftverkehr sind Gestik, Mimik, Ironie, Sarkasmus etc. nur schwer darstellbar, auch ein paar Smileys können dieses nicht auffangen.

Im Anfangspost wurde bereits gesagt:

$\begin{eqnarray*} m|n \Rightarrow (a^m-1)|(a^n-1) \end{eqnarray*}$ .

Hat man nun ein festes n vorgegeben und ein a, wie in dem Beispiel $\begin{eqnarray*} 2^{36}-1 \end{eqnarray*}$ und soll deren Teiler bestimmen, so ist es sicherlich sinnvoll, zuerst einmal die Primfaktorzerlegung von 36 zu bestimmen um alle Teiler in dieser Darstellung zu bekommen.

Es kann sein, dass ich etwas übersehe, aber 36 hat nur 9 Teiler, wodurch man auch durch die Darstellung $\begin{eqnarray*} 2^{t}-1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in T_{36}=\left\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\right\} \end{eqnarray*}$ auch nur auf 9 Teiler der Zahl $\begin{eqnarray*} 2^{36}-1 \end{eqnarray*}$ kommt.

Sicherlich kann man ohne Probleme 10 Teiler finden, wenn man sich die Teiler, die man durch die gegebene Darstellung erhält einmal anschaut......

09.05.2011, 13:36

René Gruber

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@lgrizu

Es bleibt einem natürlich auch hier unbenommen, zu den 8 so gewonnenen Teiler (also außer $\begin{eqnarray*} 2^{36}-1 \end{eqnarray*}$ selbst) auch noch deren Komplementärteiler zu betrachten, so dass man so schon auf immerhin 17 Teiler kommt. Das sind natürlich noch nicht alle (insgesamt sind es 512), aber der Aufgabenstellung ist ja bereits genüge getan.

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