Funktionsgleichung bestimmen

04.05.2011, 13:33

netcrack

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Funktionsgleichung bestimmen

Moin moin @ all

also ich hätte da mal eine frage zu einer aufgabe vor der ich hier gerade sitze.

Aufgabe:

Bestimmen sie die gleichung $\begin{eqnarray*} y = ax^{2}+bx+c \end{eqnarray*}$
mit Scheitelpunkt T=(1,2) , welche ebenfalls durch den Punkt P=(2,3) geht.

also ich habe es mal volgerdermasen versucht:

da ich den scheitelpunkt habe kann ich die Funktion ja auch schreiben als:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-1)^{2}+2 \end{eqnarray*}$

wenn ich das dann ausmultipliziere dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}+2x+1 \end{eqnarray*}$

was falsch ist. Und was mach ich dann mit dem Punkt P ??

Viellen dank schon mal für die hilfe

mfg
ich

04.05.2011, 13:50

klarsoweit

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RE: Funktionsgleichung bestimmen

Zitat:

Original von netcrack
da ich den scheitelpunkt habe kann ich die Funktion ja auch schreiben als:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-1)^{2}+2 \end{eqnarray*}$

Das ist nur die Scheitelpunktform einer Normalparabel. Da fehlt also noch was.

Zitat:

Original von netcrack
wenn ich das dann ausmultipliziere dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}+2x+1 \end{eqnarray*}$

Falsche Anwendung der binomischen Formel.

EDIT: im übrigen geht $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-1)^{2}+2 \end{eqnarray*}$ auch durch (2; 3). smile

smile

04.05.2011, 13:50

Huy

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Du müsstest schon richtig ausmulziplizieren...

MfG

04.05.2011, 14:42

netcrack

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uuups *peinlich*

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-1)^{2}+2 = x^{2}-2x+3<br /> \end{eqnarray*}$

ja... jetzt stimmt es ja auch. aber was soll ich mit dem Punkt anfangen das verstehe ich immer noch nicht ^^

mfg
ich

04.05.2011, 15:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von netcrack
ja... jetzt stimmt es ja auch. aber was soll ich mit dem Punkt anfangen das verstehe ich immer noch nicht ^^

f(x) ist nur dann die richtige Funktion, wenn sie auch durch den Punkt P läuft. Das wäre noch zu prüfen. Deswegen auch mein Hinweis, daß du nur zur Scheitelpunktform einer Normalparabel gegriffen hast.

04.05.2011, 15:34

Drik

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fehlt dann wohl die steigung a?

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04.05.2011, 16:04

klarsoweit

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Du meinst den Streckungsfaktor.

Aber nochmal deutlich: in diesem Fall ist rein zufällig (2; 3) ein Punkt von f(x), so daß du dir hier ausnahmsweise keine weiteren Gedanken machen mußt.

04.05.2011, 16:49

netcrack

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Und was muesste ich machen wenn das nicht gehasst hatte?? Oder muss ich das von Anfang an anders machen?

04.05.2011, 18:07

Drik

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da wüsst ich jetz auch nichts weiter, hätte einfach 2 und 3 eingesetzt, aber dann hast du ja noch a b und c als variablen...

vllt liegts auch an der aufgabenstellung?

05.05.2011, 08:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von netcrack
Und was muesste ich machen wenn das nicht gehasst hatte?? Oder muss ich das von Anfang an anders machen?

Du mußt eben alle Funktionen mit Scheitelpunkt (1; 2) betrachten. Und die sehen so aus:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a \cdot (x-1)^2 + 2 \end{eqnarray*}$

05.05.2011, 11:13

netcrack

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okay dann versuch ich das mal hier bei einer anderen Aufgabe:
T= (2,-1) P=(1,1)
$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)= a(x-2)^{2}-1<br /> f(x)=a(x^{2}-4x+4)-1<br /> \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich dann schauen für welches a die gleichung den Punkt P trifft???

also:

$\begin{eqnarray*} P=(1,1)<br /> a=2<br /> f(1)=2(1^{2}+4*1-4)-1=2+8-8-1=1<br /> \end{eqnarray*}$

also ist die Gleichung :

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=2(x^{2}+4x-4)-1<br /> f(x)=2x^{2}+8x-7<br /> \end{eqnarray*}$

also das stimmt dann auch ^^
danke für die Hilfe

mfg
ich

05.05.2011, 11:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von netcrack
also ist die Gleichung :

$\begin{eqnarray*} f(x)=2(x^{2}+4x-4)-1 \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f(x)=2(x^2 - 4x + 4) -1 \end{eqnarray*}$

05.05.2011, 16:13

netcrack

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oh man -.- das passiert mir immer wieder.

also ich habe mal noch so eine Aufgabe versucht zu lösen:

T=(-3/4,3/4) P=(-1/2,7/8)

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=a(x+\frac{3}{4})^{2} + \frac{3}{4}<br /> f(x)= a(x^{2}+\frac{3}{2}\cdot x + \frac{9}{16})+\frac {3}{4}<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich ja P einsetzen und nach a umstellen???

$\begin{eqnarray*} <br /> a((-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{9}{16})+\frac{3}{4}=\frac {7}{8}<br /> <br /> a(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+\frac{9}{16})= \frac{7}{8}-\frac{3}{4}<br /> <br /> a= \frac{\frac{1}{8}}{\frac{25}{16}}<br /> <br /> a= \frac{1\cdot 16}{8 \cdot 25}<br /> <br /> a = \frac {2}{25}<br /> \end{eqnarray*}$

Nach einsetzen habe ich aber gemerkt das das Falsch ist??
Was hab ich da falsch gemacht??

danke schon mal für die hilfe^

mfg
ich

06.05.2011, 09:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von netcrack
$\begin{eqnarray*} a((-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{9}{16})+\frac{3}{4}=\frac {7}{8} \end{eqnarray*}$

Du mußt für jedes x -1/2 einsetzen. Die Betonung liegt auf dem "Minus".

Im übrigen tust du dich einfacher, wenn du die Darstellung $\begin{eqnarray*} f(x)=a(x+\frac{3}{4})^{2} + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ verwendest.
Da mußt du nur eine Addition und eine Multiplikation machen.

Bei $\begin{eqnarray*} f(x)= a(x^{2}+\frac{3}{2}\cdot x + \frac{9}{16})+\frac {3}{4} \end{eqnarray*}$ sind es 2 Multiplikationen und 3 Additionen. Hinzu kommt noch die vorherige Umformung von $\begin{eqnarray*} (x+\frac{3}{4})^2 \end{eqnarray*}$ mit der binomischen Formel. Alles potientielle Fehlerquellen.

06.05.2011, 11:13

netcrack

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okay ich habe ein - vergessen^^

Aber wie muss ich dass dann in der Darstellung rechnen ?
das Potenzieren kommt doch vor dem Multiplizieren... also muss ich das erst mal die klammer potenzieren oder ?

06.05.2011, 11:17

klarsoweit

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Verstehe die Frage nicht ganz.

06.05.2011, 11:50

netcrack

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Du meintest ich soll folgende darstellung verwenden.

$\begin{eqnarray*} f(x)=a(x+\frac{3}{4})^{2}+\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

aber da muss ich doch auch erst die Binomische Formel anwenden??
oder wie muss ich dass dann rechnen?

06.05.2011, 12:22

netcrack

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okay ich habe es mal so gemacht

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=a(x+\frac{3}{4})^{2}+\frac{3}{4} <br /> <br /> a((-\frac{1}{2}+\frac{3}{4})^{2}+\frac{3}{4} = \frac{7}{8}<br /> <br /> a(\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+\frac{9}{16})=\frac{7}{8}-\frac{3}{4}<br /> <br /> a=\frac{1 \cdot 16}{8 \cdot 1}<br /> <br /> a=2<br /> <br /> f(x)= 2(x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16})+\frac{3}{4}<br /> <br /> f(x)= 2x^{2}+3x+\frac{15}{8}<br /> \end{eqnarray*}$

und das stimmt jetzt auch mit der Musterlösung überein.

Danke noch mal für die hilfe!! Und was ich jetzt immer noch nicht verstehe ist was du mit der Darstellung meintest smile

smile

mfg
ich

06.05.2011, 12:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von netcrack
$\begin{eqnarray*} a((-\frac{1}{2}+\frac{3}{4})^{2}+\frac{3}{4} = \frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

Warum rechnest du an dieser Stelle nicht $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ aus und quadrierst dann das Ergebnis? Das vermeidet - wie ich sagte - die binomische Formel und unnötige Rechenoperationen.

Zitat:

Original von netcrack
Und was ich jetzt immer noch nicht verstehe ist was du mit der Darstellung meintest smile

smile

Du hast für dieselbe Funktion f(x) zwei Darstellungen, nämlich:
$\begin{eqnarray*} 1. ~ f(x)=a(x+\frac{3}{4})^{2} + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. ~ f(x)= a(x^{2}+\frac{3}{2}\cdot x + \frac{9}{16})+\frac {3}{4}<br /> \end{eqnarray*}$

Mit der 1. Darstellung kann man aber viel einfacher rechnen.

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