Orthonormalbasis V = M_2,2

04.05.2011, 17:35	GLn	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis V = M_2,2 Bestimmen sie eine Orthonormalbasis für V = $\begin{eqnarray} M_{2,2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ mit <A,B> := Spur( $\begin{eqnarray} A^{t} B \end{eqnarray}$ ) Meine Heransgehensweise: Erstmal eine Basis B = ( $\begin{eqnarray} B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4} \end{eqnarray}$ ) von $\begin{eqnarray} M_{2,2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ nehmen, B = ( $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ) Und nun mit einem Algorhitmus aus unserer VL rechnen: Sei W = ( $\begin{eqnarray} W_{1}, W_{2}, W_{3}, W_{4} \end{eqnarray}$ ) die gesuchte Orthonormalbasis. Algorhitmus aus VL: $\begin{eqnarray} W_{1} = \frac{B_{1}}{\|\|B_{1}\|\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W_{i} = B_{i} - \sum\limits_{j=1}^k <B_{i}, W_{j}> \cdot W_{j} \end{eqnarray}$ Wobei k hier j - 1 sein soll. Kriege das j-1 nicht als obere Grenze auf die Summe. Nun mein Problem: Wenn ich das ausrechne, bekomme ich aber genau mein B raus.
04.05.2011, 17:58	GLn	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit einem anderen Ansatz, der in der Vorlesung in einem Beispiel verwendet wurde, komme ich auf B = ( $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ) Und zwar wie folgt: $\begin{eqnarray} B_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}<br /> B_{2} = B_{2} + a B_{1} <br /> B_{3} = B_{3} + b * B_{2} + c* B_{1} <br /> B_{4} = B_{4} + d * B_{3} + eB_{2} + f B_{1} \end{eqnarray}$ a, b, c, d, e, f $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ Angenommen das ist richtig, wie normiere ich mein B dann ?
04.05.2011, 18:03	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Ansatz war schon in Ordnung und der Grund, warum da wieder B herauskam, ist der, dass B schon eine Orthonormalbasis dieses Raums ist.
04.05.2011, 18:21	GLn	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, dachte schon das wäre zu schön um wahr zu sein, da man immer von irrem Rechenaufwand bei diesen Aufgaben hört g Also ist es völlig legitim, dass ich mein B als Ausgangspunkt so gewählt hab? Oder muss ich das noch irgendwie begründen? War für mich offensichtlich. Korrektoren finden das aber manchmal leider nicht so offensichtlich ^^
04.05.2011, 18:31	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, du musst natürlich irgendeine Begründung für die Tatsache angeben, dass B eine ONB ist. D.h. entweder präsentierst du deine Rechnung mit dem Gram-Schmidt-Algorithmus, wo wieder B herauskommt, oder du rechnest explizit nach, dass $\begin{eqnarray} \langle B_i,B_j\rangle = \delta_{i,j} \end{eqnarray}$ . B als Ausgangspukt zu wählen ist dann legitim, wenn ihr schon nachgewiesen habt, dass diese Matrizen eine Basis des Vektorraums bilden. Falls ihr dieses Resultat noch nicht hattet, kannst du es ja kurz nachreichen. Wobei es hier wirklich offensichtlich ist.

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