Uneigentliches Integral, Konvergenz

04.05.2011, 18:32	zaengi	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral, Konvergenz Abend zusammen, folgende Aufgabe: Untersuchen Sie folgendes Integral auf Konvergenz: $\begin{eqnarray} \int_0^2 sin(\frac{1}{x^2})\,\mathrm dx \end{eqnarray}$ Verwenden sie dabei Substitution mit: $\begin{eqnarray} u = \frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: * Klar ist, dass die untere Intervallgrenze 0 die singuläre Stelle ist und die "Probleme" verursachen wird. * Substitution: $\begin{eqnarray} u = \frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \sqrt{\frac{1}{u}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u' = -\frac{1}{2}(\frac{1}{u})^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ ALso: $\begin{eqnarray} dx = -\frac{1}{2}(\frac{1}{u})^{\frac{3}{2}} du \end{eqnarray}$ Für das Integral heißt dass: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}\int_0^2 sin(u)(\frac{1}{u})^{\frac{3}{2}}\,\mathrm du \end{eqnarray}$ Sooo, das Ganze hilft mir ja nun irgendwie nicht großartig weiter, auch Grenzen transformieren bringt mich nicht weiter. Irgendwelche Tipps für mich, wie ich vorgehen könnte? Danke
04.05.2011, 19:20	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Du hast u völlig falsch abgeleitet. 2. Deine Substitution ist nicht korrekt. u und x stimmen, aber dx ist falsch. MfG
04.05.2011, 20:42	zaengi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, bei der Ableitung von u bin ich in der Zeile verruscht, soll natürlich heißen: $\begin{eqnarray} u' = -\frac{2}{x^3} \end{eqnarray}$ So, aber warum stimmt dx nicht? Ich löse ja die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx} = u' \end{eqnarray}$ nach dx auf und bekomme dann folgendes raus: $\begin{eqnarray} dx = -\frac{1}{2}x^3 du \end{eqnarray}$ Dann setze ich mein x ein. Wo liegt mein Fehler? Hab gerade ein Brett vor dem Kopf :/
05.05.2011, 11:06	zaengi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, für den Doppelpost, aber mir fehlt immer noch ein Ansatz bzw. was ich falsch mache. Ich rechne und rechne, dass dx bleibt aber stets dasselbe Ergebnis. Ich vermute, dass mein Fehler daran liegt, dass ich eventuell einen falschen Wert für das x einsetze. Irgendwelche Ideen? Danke

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