Grenzwert berchnen II

04.05.2011, 19:06

Esto

Grenzwert berchnen II

Aufgabe :
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left[ n \cdot (1-\sqrt{1- \frac{a}{n}} \right] \end{eqnarray*}$
Ich habe dann folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} n \cdot (1-\sqrt{1- \frac{a}{n}}) = \frac{ n \cdot (1-\sqrt{1- \frac{a}{n}})(1 + \sqrt{1- \frac{a}{n}})}{ 1+ \sqrt{1- \frac{a}{n}}} = n \cdot \frac{1 - 1 + \frac{a}{n}}{1+\sqrt{1-\frac{a}{n}}} \end{eqnarray*}$

Habe also die 3. binomische Formel angewendet und mit dem Limes zusammen kommt dann Null heraus.
Ist die Lösung korrekt?

Allerdings frage ich mich ob die Umformung hier überhaupt nötig gewesen wäre, schließlich kann man die Lösung doch eigentlich schon aus der gegebenen Gleichung ablesen oder?

04.05.2011, 19:10

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert berchnen II

Zitat:

Original von Esto
Habe also die 3. binomische Formel angewendet und mit dem Limes zusammen kommt dann Null heraus.
Ist die Lösung korrekt?

Nein. Keine Ahnung, was du genau gemacht hast, aber dein letzter Bruch lässt auf einen anderen Grenzwert schliessen.

Zitat:

Allerdings frage ich mich ob die Umformung hier überhaupt nötig gewesen wäre, schließlich kann man die Lösung doch eigentlich schon aus der gegebenen Gleichung ablesen oder?

...

MfG

04.05.2011, 19:28

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert berchnen II
Danke für deine Antwort, auch wenn ich daraus nicht ganz schlau werde:
Was heißt: "..." . Ja / Nein wäre besser gewesen.

Und was ich gemacht habe:
Ich habe den Term mit einem Bruch erweitert, sprich:
$\begin{eqnarray*} \left[ n \cdot (1- \sqrt{1- \frac{a}{n}}\right] \cdot \frac {(1+ \sqrt{1 + \frac{a}{n}})}{(1+ \sqrt{1+ \frac{a}{n}}} \end{eqnarray*}$

es kommt heraus:

$\begin{eqnarray*} n \cdot (1-\sqrt{1- \frac{a}{n}}) = \frac{ n \cdot (1-\sqrt{1- \frac{a}{n}})(1 + \sqrt{1- \frac{a}{n}})}{ 1+ \sqrt{1- \frac{a}{n}}} = n \cdot \frac{1 - 1 + \frac{a}{n}}{1+\sqrt{1-\frac{a}{n}}} \end{eqnarray*}$

3. Binmoische Formel verwendet (über dem Bruchstrich)

Wenn ich nun n gegen Unendlich gehen lasse steht dann:
$\begin{eqnarray*} \infty \cdot \frac{\frac{a}{\infty } }{1+ \sqrt{ 1 - \frac{a}{\infty} }} = \infty \cdot \frac{0}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich irre, könntet ihr mir bitte sagen, wo der Fehler liegt?

Vielen Dank

04.05.2011, 19:31

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ich habe deine Frage mit "..." kommentiert, weil sie davon ausging, dass der Grenzwert 0 völlig trivial ist (aber der Grenzwert ist NICHT 0).
2. Du darfst nicht einfach "unendlich" einsetzen für n.
3. Du irrst dich (was ich schon vorher gesagt hatte), man kann im letzten Bruch noch vereinfachen.

MfG

04.05.2011, 19:51

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst also, ichkann noch was an $\begin{eqnarray*} n \cdot \frac{\frac{a}{n } }{1+ \sqrt{ 1 - \frac{a}{n} }} \end{eqnarray*}$
vereinfachen ? Ok dann werd ich noch überlegen müssen. Ich meld mich wieder, wenn ich was hab.
Und ja ich darf für n nicht unendlich schreiben sondern müsste eigentlich limes hinschreiben, dazu war ich aber zu faul Augenzwinkern

Danke soweit

04.05.2011, 19:53

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du kannst den Bruch noch etwas daran vereinfachen. Es ist eigentlich sehr trivial, aber vermutlich siehst du gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht. Augenzwinkern

MfG

04.05.2011, 19:55

Esto

Auf diesen Beitrag antworten »

arfff.. ich bin aber auch blöde..... der Grenzwert ist natürlich a/2, weil ich das n rauskürzen kann !!!
haha
Danke Dir

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert berchnen II

Verwandte Themen