Beweis eines Additionstheorems

08.12.2006, 16:18

PG

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Beweis eines Additionstheorems

Zum folgenden Beweis hätte ich eine Frage:

Nach den Additionstheoremen ist
$\begin{eqnarray*} a\sin(x+b)=a\sin(x)\cos(b)+a\sin(b)\cos(x) \end{eqnarray*}$ . Die Terme

$\begin{eqnarray*} f(x)=a\sin(x+b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n(x)=A\sin(x)+B\cos(x) \end{eqnarray*}$
sind also für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ äquivalent, wenn

$\begin{eqnarray*} A=a\cdot\cos(b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=a\cdot\sin(b) \end{eqnarray*}$ .

Wählt man

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{A^2+B^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(b)=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(b)=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{eqnarray*}$
so sind diese beiden Bedingungen erfüllt.

Meine Frage: Warum müssen diese Bedingungen erfüllt sein, damit $\begin{eqnarray*} f(x)=f_n(x) \end{eqnarray*}$ ist

08.12.2006, 20:51

Abakus

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RE: Beweis eines Additionstheorems

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} A=a\cdot\cos(b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=a\cdot\sin(b) \end{eqnarray*}$ .

Wählt man

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{A^2+B^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(b)=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(b)=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{eqnarray*}$
so sind diese beiden Bedingungen erfüllt.

Hier sind nur die obigen Gleichungen umgestellt worden:

Alles oben zum Quadrat: $\begin{eqnarray*} A^2 = a^2 \cdot \cos^2(b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B^2 = a^2 \cdot \sin^2(b) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} A^2 + B^2 = a^2 \cdot \cos^2(b) + a^2 \cdot \sin^2(b) = a^2 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich der Rest.

Grüße Abakus smile

smile

09.12.2006, 00:10

PG

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RE: Beweis eines Additionstheorems
Danke Abakus, aber das ist mir auch klar.
Meine Frage bezog sich darauf

Zitat:

Original von PG
Die Terme

$\begin{eqnarray*} f(x)=a\sin(x+b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n(x)=A\sin(x)+B\cos(x) \end{eqnarray*}$
sind also für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ äquivalent, wenn

$\begin{eqnarray*} A=a\cdot\cos(b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=a\cdot\sin(b) \end{eqnarray*}$ .

Wie kann man davon ausgehen, dass beide Funktionen für alle x in R äquivalent ist, WENN diese beiden Bedingungen gelten? Was hat die Erfüllung der beiden Bedingungen damit zu tun, dass beide Funktionen auch äquivalent zueinander sind?

Anders ausgedrückt: Wie kommt man darauf, dass dann
$\begin{eqnarray*} a\sin(x+b)=A\sin(x)+B\cos \end{eqnarray*}$
ist?

09.12.2006, 16:23

PG

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Könnte mir einer noch bitte erklären, warum das so ist(s. post davor)

09.12.2006, 19:41

Mathespezialschüler

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Zunächst mal was zur Ausdrucksweise: Funktionen sind nicht äquivalent! Dazu sagt man: Funktionen sind gleich.
Wenn ich es richtig verstanden habe, geht es dir darum, zu beweisen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} a\sin x\cos b+a\sin b\cos x=A\sin x+B\cos x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A=a\cos b\quad\wedge\quad B=a\sin b \end{eqnarray*}$ .

Die Rückrichtung ist ja klar.
Nehmen wir nun an, dass

$\begin{eqnarray*} a\sin x\cos b+a\sin b\cos x=A\sin x+B\cos x \end{eqnarray*}$

gilt. Daraus folgt zunächst

$\begin{eqnarray*} (A-a\cos b)\sin x+(B-a\sin b)\cos x=0 \end{eqnarray*}$ .

Und daraus folgt sofort

$\begin{eqnarray*} A-a\cos b=0\quad\wedge\quad B-a\sin b=0 \end{eqnarray*}$ ,

weil $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ linear unabhängig im Vektorraum aller Funktionen sind.
Wenn du das nicht so schnell siehst, können wir die vorletzte Gleichung auch etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} (A-a\cos b)\sin x=(a\sin b-B)\cos x \end{eqnarray*}$ .

Und dass eine Vielfaches der Sinus- nicht gleich einem Vielfachen der Cosinusfunktion sein kann außer dem Fall, dass beide Vielfachen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sind, sollte anschaulich klar sein. Das ist natürlich kein Beweis(wenn du möchtest, kann ich den noch nachliefern; der würde dann eben diese lineare Unabhängigkeit von oben beweisen), aber es zeigt zumindest, warum das Ganze gilt.
Dass

$\begin{eqnarray*} A=a\cos b\quad\wedge\quad B=a\sin b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\begin{cases} A=B=a=0 & \text{ für }a=0 \\ a=\sqrt{A^2+B^2}\wedge \cos b=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\wedge \sin b=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} & \text{ für }a\neq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

gilt, wusstest du ja anscheinend schon vorher bzw. wenn nicht, dann hat Abakus es dir gezeigt.

Gruß MSS

09.12.2006, 20:44

PG

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Erst einmal Danke für die Antwort.
Den anderen Beweis hast du mir ja schon gezeigt.

Es steht in meinem Buch, dass dies der Beweis ist und es wird nicht gesagt, dass die Funktionen, sondern die Terme äquivalent sind(s.o.).
Warum alles so ist, ist mir auch bewusst, aber meine Frage ist noch immer nicht geregelt.
Warum soll das ein Beweis sein? Du sagtest ja eben schon, dass es kein richtiger Beweis ist, aber mein Lehrer hat es an der Tafel berechnet und gezeigt, dass es ein Beweis ist.

Meine Frage ist: Wie hier begründet wird, dass folgendes

$\begin{eqnarray*} a\sin(x+b)=a\sin{x}\cos{b}+a\sin{b}\cos{x} \end{eqnarray*}$

durch diesen Beweis gilt?

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09.12.2006, 21:41

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} a\sin(x+b)=a\sin{x}\cos{b}+a\sin{b}\cos{x} \end{eqnarray*}$

Achso, darum geht es dir. Das ist doch einfach nur das Additionstheorem, dessen Beweis ich dir doch im Off-Topic schon als Link gegeben habe.

Gruß MSS

09.12.2006, 22:06

PG

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Jo (habe ich im letzten Post erwähnt, dass du es mir gezeigt hast)

Worum es mir geht, ist dieser Beweis.
So steht es im Buch und ich will wissen, warum diese zwei Bedingungen gelten sollen, damit diese Terme für alle x in R äquivalent sind.

anders ausgedrückt: wie wird hier bewiesen, dass beiide Terme äquivalent sind?

09.12.2006, 22:24

Mathespezialschüler

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Kannst du mal ganz genau aufschreiben, was du jetzt bewiesen haben willst?? Auch mit mathematischen Gleichungen?! Im Moment weiß ich das nämlich nicht.

Gruß MSS

09.12.2006, 22:32

PG

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hmm irgendwie versteht mich keiner.

Siehe meine ersten Post.
Dieser Beweis, genau so wie er da steht, ist ein Beweis nach meinem Buch für diesen einen Additionstheorem

Ich will nur erklärt wissen, warum die beiden Bedingungen, also

1. Bedingung
$\begin{eqnarray*} A=a\cos{b} \end{eqnarray*}$ und

2.Bedingung
$\begin{eqnarray*} B=a\sin{b} \end{eqnarray*}$

Warum diese beide Bedingungen erfüllt werden sein müssen, DAMIT folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} a\sin{(x+b)}=a\cos{b}\cdot\sin{x}+a\sin{b}\cdot\cos{x} \end{eqnarray*}$

Warum gerade diese Bedingungen? Was haben diese Bedingungen damit zu tun ,dass der eine Terme gleich dem anderen Term ist?

Das ist meine Frage. Bitte ich brauche die Antwort, sonst hätte ich kein Doppelpost geschrieben

09.12.2006, 22:50

Mathespezialschüler

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Die haben nichts damit zu tun. Die müssen dafür überhaupt nicht erfüllt sein! Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} a\sin(x+b)=a\sin x\cos b+a\sin b\cos x \end{eqnarray*}$

gilt immer, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} a,b,x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Was in deinem Ausgangspost steht, ist einfach nur folgendes: Wenn

$\begin{eqnarray*} a\sin(x+b)=A\sin x+B\cos x \end{eqnarray*}$

ist, dann muss zwangsweise $\begin{eqnarray*} A=a\cos b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=a\sin b \end{eqnarray*}$ gelten und umgekehrt.

Gruß MSS

09.12.2006, 22:56

PG

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Ja aber es muss doch ein Beweis sein?

Stellen wir uns vor, dass wir nicht wüssten, dass der eine Term gleich dem anderen Term ist(dass beide äquivalent sind)

Warum muss dann das eine zwangsweise das andere sein?
Wo ist da der Beweis?

09.12.2006, 22:59

Mathespezialschüler

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Wegen des Additionstheorems gilt für alle $\begin{eqnarray*} x,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sin(x+b)=\sin x\cos b+\sin b\cos x \end{eqnarray*}$ .

Multipliziert man diese Gleichung mit einem beliebigen $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so erhält man:

$\begin{eqnarray*} a\sin(x+b)=a\sin x\cos b+a\sin b\cos x \end{eqnarray*}$ .

Was ist daran so schwierig?

Gruß MSS

09.12.2006, 23:17

PG

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Das mit den a weiß ich auch...
Wie soll ich es erklären? Besser erklären kann ich es nicht mehr.

Es ist uns allen klar, dass diese beide Termen bewiesen worden sind und dass alle Mathematik damit einig sind, dass dies gilt.
Aber bevor man das gewusst hatte, musste man es beweisen und herausfinden
Ich habe einen Beweis aufgeführt aus meinem Buch.

Nun ganz anders gefragt: Warum ist das ein Beweis, was ich hier aufgeführt habe?

09.12.2006, 23:22

Mathespezialschüler

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Ich sehe in diesem Thread nirgendwo einen Beweis für das Additionstheorem.

Gruß MSS

09.12.2006, 23:34

PG

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In meinem Buch steht Beweis

Genauso wie ich im ersten Post geschrieben habe, so steht es drin. Mein Lehrer sah das auch als Beweis. Nur ich versteh nicht ,was daran der Beweis sein soll...

09.12.2006, 23:35

Leopold

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Vielleicht sollte man einmal klar sagen, worum es hier überhaupt geht. Im Unterricht wurde wohl der Satz behandelt (bewiesen), daß jede Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} A \sin{x} + B \cos{x} \end{eqnarray*}$

durch eine verschobene und in der Amplitude angepaßte Sinusfunktion $\begin{eqnarray*} a \, \sin{(x+b)} \end{eqnarray*}$ ausgedrückt werden kann:

$\begin{eqnarray*} A \sin{x} + B \cos{x} = a \, \sin{(x+b)} \end{eqnarray*}$

Was soll eigentlich bewiesen werden? Daß, wenn $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ vorgegeben sind, man $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ so finden kann, daß die obige Gleichheit gilt. Dafür verwendet man das Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} a \, \sin{(x+b)} = a \left( \sin{x} \cdot \cos{b} + \cos{x} \cdot \sin{b} \right) = \left( a \cos{b} \right) \, \sin{x} + \left( a \sin{b} \right) \, \cos{x} \end{eqnarray*}$

Und ein Vergleich zeigt, daß, wenn es gelingt, $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ so zu bestimmen, daß

$\begin{eqnarray*} a \cos{b} = A \, , \ \ a \sin{b} = B \end{eqnarray*}$

gilt, die Aufgabe gelöst ist. $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ sind aber nichts anderes als die Polarkoordinaten von $\begin{eqnarray*} (A,B) \end{eqnarray*}$ .

09.12.2006, 23:55

PG

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Hey bist du Hellseher?
Jop wir haben besprochen, dass es eine verschobene Sinusfunktion ist , aber anders ausgedrückt werden kann.

Ich glaube, ich habe es jetzt herausbekommen. Lassen wir es so stehen.

Danke für jede Hilfe(vor allem MSS und die anderen)

10.12.2006, 00:05

Leopold

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Nimm einmal ein Beispiel. Machen wir es nicht zu kompliziert:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin{x} + \sqrt{3} \cos{x} \end{eqnarray*}$

Lies $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ab und bestimme dann $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ so, daß die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x) = a \, \sin{(x+b)} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ übereinstimmt. Überprüfe das mit einem Funktionenplotter.

10.12.2006, 00:25

PG

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Habe ich gemacht(nach deinem Post) und deswegen habe ich es jetzt auch verstanden!

Danke smile

smile

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