Zentrum einer Gruppe [ÜAB]

04.05.2011, 22:06

tigerbine

Zentrum einer Gruppe [ÜAB]

Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} Z(G):=\{a\in G ~|~ax=xa,~\forall x \in G\} \end{eqnarray*}$ .

Man zeige, dass das Zentrum Z(G) einer Gruppe eine Untergruppe von G ist.
Man beweise die Beziehung $\begin{eqnarray*} f(Z(G))=Z(G) \end{eqnarray*}$ für alle Automorphismen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Man bestimme das Zentrum der symmetrischen Gruppe Sym(M), wobei M eine beliebige Menge mit mindestens drei Elementen ist.

zu (a)
Hier wurde das Zentrum nicht (wie üblich) bzgl. der inneren Automorphismen definiert. Das würde als Kern eines Homomorphismus sogar schon die Normalteilereigenschaft erschlagen. Es ist imho also nachrechnen gefragt.

Es ist e offensichtlich in Z(G) [nichtleer]. Es ist für a,b in Z(G): (ab)x= a(bx)=a(xb)=(ax)b=(xa)b=a(ab) auch ab in Z(G) [abgeschlossen bzgl Verknüpfung] und für a in Z(G) folgt aus ax=xa sofort $\begin{eqnarray*} xa^{-1}=a^{-1}x \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ in Z(G) [abgeschlossen bzgl. Inversion]. Somit ist Z(G) eine Untergruppe von G.

zu (b)
Sei a beliebig aus Z(G). Dann gilt $\begin{eqnarray*} f(a)=f(xax^{-1})=f(x)f(a)f(x)^{-1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(a)f(x)=f(x)f(a) \end{eqnarray*}$ für alle x aus G und alle a aus Z(G). Da f bijektiv ist, gibt es zu jedem y aus G ein x aus G mit f(x)=y. Es gilt also: $\begin{eqnarray*} f(a)y=yf(a) \end{eqnarray*}$ für alle y aus G und alle a aus Z(G). Damit gilt f(a) ist in Z(G). Mit der Bijektivität von f folgt dann die Behauptung, also $\begin{eqnarray*} f(Z(G))=Z(G) \end{eqnarray*}$ .

zu (c)
Vielleicht ist es hier ja schon ausreichend, sich die $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ anzuschauen. Denn ihre Elemente findet man ja in allen höheren symmetrischen Gruppen wieder und die Elemente des Zentrums müssen auch mit ihnen kommutieren. Rechnet man nach..., so liegt nur das neutrale Element darin. Daher würde ich sagen

$\begin{eqnarray*} Z(S_n)=\{e\},~3 \leq n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

04.05.2011, 22:32

zweiundvierzig

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RE: Zentrum einer Gruppe [ÜAB]
Hi tigerbine,

Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} Z(G):=\{a\in G ~|~ax=xa,~\forall x \in G\} \end{eqnarray*}$ .
Hier wurde das Zentrum nicht (wie üblich) bzgl. der inneren Automorphismen definiert. Das würde als Kern eines Homomorphismus sogar schon die Normalteilereigenschaft erschlagen. Es ist imho also nachrechnen gefragt.

Du kannst natürlich auch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ der Kern des Homomorphismus $\begin{eqnarray*} G \to \mathrm{Aut}(G), ~ g \mapsto c_g \end{eqnarray*}$ ist ( $\begin{eqnarray*} c_g \end{eqnarray*}$ ist die Konjugation mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ). Augenzwinkern

Zitat:

Original von tigerbine
Es ist e offensichtlich in Z(G) [nichtleer]. Es ist für a,b in Z(G): (ab)x= a(bx)=a(xb)=(ax)b=(xa)b=a(ab) auch ab in Z(G) [abgeschlossen bzgl Verknüpfung] und für a in Z(G) folgt aus ax=xa sofort $\begin{eqnarray*} xa^{-1}=a^{-1}x \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ in Z(G) [abgeschlossen bzgl. Inversion]. Somit ist Z(G) eine Untergruppe von G.

Aber bis auf den Typo (blau) ist das natürlich auch richtig.

Zitat:

Original von tigerbine
zu (b)
Sei a beliebig aus Z(G). Dann gilt $\begin{eqnarray*} f(a)=f(xax^{-1})=f(x)f(a)f(x)^{-1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(a)f(x)=f(x)f(a) \end{eqnarray*}$ für alle x aus G und alle a aus Z(G). Da f bijektiv ist, gibt es zu jedem y aus G ein x aus G mit f(x)=y. Es gilt also: $\begin{eqnarray*} f(a)y=yf(a) \end{eqnarray*}$ für alle y aus G und alle a aus Z(G). Damit gilt f(a) ist in Z(G). Mit der Bijektivität von f folgt dann die Behauptung, also $\begin{eqnarray*} f(Z(G))=Z(G) \end{eqnarray*}$ .

zu (c)
Vielleicht ist es hier ja schon ausreichend, sich die $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ anzuschauen. Denn ihre Elemente findet man ja in allen höheren symmetrischen Gruppen wieder und die Elemente des Zentrums müssen auch mit ihnen kommutieren. Rechnet man nach..., so liegt nur das neutrale Element darin. Daher würde ich sagen

$\begin{eqnarray*} Z(S_n)=\{e\},~3 \leq n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Sieht beides gut aus. Wink

04.05.2011, 22:46

tigerbine

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RE: Zentrum einer Gruppe [ÜAB]

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Du kannst natürlich auch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ der Kern des Homomorphismus $\begin{eqnarray*} G \to \mathrm{Aut}(G), ~ g \mapsto c_g \end{eqnarray*}$ ist ( $\begin{eqnarray*} c_g \end{eqnarray*}$ ist die Konjugation mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ). Augenzwinkern

[/quote]

Ja, kann ich. Augenzwinkern

Danke fürs Lesen. Wink

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