Verschoben! Gruppen

04.05.2011, 23:33

Ein guter Schüler

Gruppen

Hallo,

wie das Thema schon sagt, aheb ich ein paar Fragen zur Analytische Geometrie bzw. Gruppen.

1. Frage:
Wir haben in der Schule folgendes gesagt:
Eine nicht leere Menge M , auf der eine Verknüpfüung "o"definiert ist, heißt Gruppe , genau dann, wenn folgendes gilt:
...
Es gilt das Assoziativgesetz dh. für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c\in ^{M} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (a o b) o c = a o (b o c) \end{eqnarray*}$

Frage: Heißt das, dass das Assoziativgesetz für alle "o" gilt?

2.Frage:
Auch gilt für eine Gruppe:
Zu jedem $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ existiert ein inveres Element ai, sodass
$\begin{eqnarray*} a o ai=ai o a= n \end{eqnarray*}$ gilt.

Frage: Was genau ist hier das inverse Element? Ich verstehe hier die Formel nicht ganz.

3.Frage:
Wir haben festgestellt: Die Menge V der Pfeilvektoren ist eine kommutative Gruppe.

Frage: Heißt das, dass alle Pfeilvektoren eine kommutative Gruppe bilden?

4.Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ die Menge aller geordneter 3-Turpel in Spaltenform, dh. $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} ={\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} /a1,a2,a3 \in \mathbb R } \end{eqnarray*}$ .

Frage: Was heißt hier $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ ? Die Menge der Gruppe wird doch direkt hinter dem Gleichzeichen angegeben.

Vielen Dank im Voraus

04.05.2011, 23:53

tigerbine

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Nur das Assoziativgesetz reicht aber nicht aus. Ich denke, die ... stehen darfür, oder?

Schau mal hier: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper

05.05.2011, 14:17

Ein guter Schüler

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Hi,
danke für deine Antwort!
Ja das stimmt die "..." stehen für die anderen Voraussetzungen. Kann mir trotzdem jemand bei meinen Fragen helfen? Vielen Dank im Voraus.

MfG

05.05.2011, 14:18

tigerbine

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Das "°" ist doch die Verknüpfung. Und die soll assoziativ sein. Deine Frage mit "für alle?" ist mir daher unverständlich.

05.05.2011, 14:41

mYthos

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.

[Edit]

*** verschoben ***

mY+

05.05.2011, 18:05

Ein guter Schüler

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Gruppen
Hi!
Danke für deine Antwort,
ja das stimmt, so im Nachhinein verstehe ich was du meinst. Kannst du mir bei den anderen Fragen auch noch helfen?

MfG

05.05.2011, 19:00

tigerbine

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RE: Gruppen
Du scheinst dem Link nicht gefolgt zu sein.
(2)
Es gibt nicht das inverse Element. Sondern jedes Element hat sein inverses Element. Und da Gruppen i.A. nicht kommutativ sind, stellen wir explizit heraus, dass dieses Element sowohl links auch auch rechtsinvers ist.

(3)
Da steht keine Frage.

(4) IR³ steht für ein kartesisches Produkt.

05.05.2011, 21:27

Ein guter Schüler

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Hi,
danke für deine Anwort!
Ich bin dem Link gefolgt und habe das Thema gelesen, wusste jedoch nciht so recht, wie ich das auf meine Fragen beziehen sollte.

Zu den inversen Elementen:

Zitat:

Element sowohl links auch auch rechtsinvers ist.

Vielleicht habe ich die Frage nicht verständlich ausgedrückt. Ich möcht um genauer zu sein, wissen wie man das inverse Element genau bildet: Muss ich immer das positive bzw. negative Gegenstück zum Element nehmen, damit null herauskommt, oder das Gegenstück zur Verknüpfung? Das wäre in diesem Fall zur Multiplikation doch die Division, oder?

Zitat:

(3) Da steht keine Frage.

Ich wusste nicht ganz genau, wie du das gemeint hattest, aber ich habe unter Punkt 3 folgende Frage gestellt:

Zitat:

Frage: Heißt das, dass alle Pfeilvektoren eine kommutative Gruppe bilden?

Ansonsten habe ich alles verstanden, vielen Dank im Voraus!

05.05.2011, 21:40

Pascal95

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Leider ist tigerbine nicht online.

Ich versuche es dir mal näherzubringen.

In dem von tigerbine verlinktem Thread war das allerdings schon erklärt:
Du hast die Formel $\begin{eqnarray*} a \circ a' = a' \circ a = n \end{eqnarray*}$
Dabei ist mit $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ das zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ inverse Element gemeint.
Man schreibt auch $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bedeutet neutrales Element. Es gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x \in M: x \circ n = n \circ x = x \end{eqnarray*}$ (links- und rechtsneutral).

Das heißt, wenn man ein beliebiges Element mit seinem Inversen verknüpft, erhält man stets das neutrale Element.

Schau dir besser noch mal den von tigerbine verlinkten Thread an.
Und schaue hier:
Neutrales Element
Inverses Element

05.05.2011, 21:59

tigerbine

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Zitat:

3.Frage:
Wir haben festgestellt: Die Menge V der Pfeilvektoren ist eine kommutative Gruppe.

Frage: Heißt das, dass alle Pfeilvektoren eine kommutative Gruppe bilden?

Das klingt in meinen Ohren so: Wir haben für 2,3 aus Z festgestellt, dass 2+3=5 ist. Ist 2+3=5?

Die Begriffe Inverses werden in der Definition formal eingeführt und über eine Eigenschaft genau definiert. Die Bestimmung der inversen für eine konktrete Gruppe mit Verknüpfung ist etwas anderes. Du versteifst dich hier zu seht auf "+", "*" .... Augenzwinkern

05.05.2011, 22:12

Pascal95

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@tigerbine:
Entschuldige, wenn ich mich hier noch einmal einmische, aber hast du gerade mit mir "geredet"?

05.05.2011, 22:14

tigerbine

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Ne, mit dem Fragesteller. Da ich auf deinen/unseren Thread verlinkt habe ist schon ok, wenn du hier mit anpackst. High five! (or two) Rock

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