Konsistenzordnung der modifizierten Euler Formel

05.05.2011, 00:34	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Konsistenzordnung der modifizierten Euler Formel Aufgabe: Geben sie die Konsistenzordnung der modifizierten Euler-Formal an Euler Formel: $\begin{eqnarray} $y_n = y_{n-1} + h_n f\left(t_{n-1} + \frac 12 h_n, y_{n-1} + \frac 12 h_n f(t_{n-1},y_{n-1})\right)$ \end{eqnarray}$ Ideen und Fragen Mit dem Abschneidefehler und Taylor bin ich soweit gekommen (wie folgt): $\begin{eqnarray} $\displaystyle \tau^h_n:= \frac{1}{h_n} (u_n - u_{n-1})-F(h_n ; t_{n-1},u_{n-1})$ \end{eqnarray}$ (1) $\begin{eqnarray} $\displaystyle \frac{1}{h_n} (u_n - u_{n-1})=\frac{1}{h_n} \left( u_{n-1}+ h_n \sum_{r=1}^R \frac{h^{r-1}_n}{r!}f^{r-1}(t_{n-1},u_{n-1})-u_{n-1} \right) = \sum_{r=1}^R \frac{h^{r-1}_n}{r!}f^{r-1}(t_{n-1},u_{n-1})$ \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} $\displaystyle F(h_n ; t_{n-1},u_{n-1})=\sum_{r=1}^R \frac{h^{r-1}_n}{r!} f^{r-1}\left(t_{n-1} + \frac 12 h_n, u_{n-1} + \frac 12 h_n f(t_{n-1},u_{n-1})\right)$ \end{eqnarray}$ bei der nummer 2 habe ich meine Probleme, für r=1 steht dann ja f(...) selbst da,.. nur wie funktioniert es mit der Ableitung? Auch mit folgender Regel komme ich da nicht ganz weiter: $\begin{eqnarray} $\displaystyle f^{(1)}(t,x)= \partial_t f(t,x)+\partial_x f(t,x) \cdot f(t,x)$ \end{eqnarray}$ Denn so sehe ich im moment nicht wie ich den Abschneidefehler mit taylor so vereinfachen kann um die Ordnung O(h^m) abzuschätzen,.. hoffe mir kann jemand ein paar tipps geben, gerade wegen den ableitungen Gruß und danke

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