Grenzwert von Folgen

05.05.2011, 07:02

Esto

Grenzwert von Folgen

Aufgabe: Bestimmen sie für das folgende Beispiel ein $\begin{eqnarray*} n_{0} = n_{0}(\epsilon) \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} | x_{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall n > n_{0} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x_{n} := \frac {n}{n^{3} + n^{2} + 1 } \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand diese Aufgabe näher erklären?
Soll ich jetzt für Epsilon eine Zahl einsetzen? Kann ich mir schwer vorstellen, da es bestimmt für alle Epsilon gelten soll.
Wie muss ich hier rangehen?

Vielen Dank

05.05.2011, 08:40

klarsoweit

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RE: Grenzwert von Folgen

Zitat:

Original von Esto
Soll ich jetzt für Epsilon eine Zahl einsetzen?

Nein. Du sollst eine Abbildung angeben, die jedem epsilon ein $\begin{eqnarray*} n_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$ zuordnet, so daß eben für alle n mit n > n_0 gilt $\begin{eqnarray*} |x_n| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

05.05.2011, 15:02

Esto

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RE: Grenzwert von Folgen
d.h. ich muss den Kram umstellen nach n:

$\begin{eqnarray*} = \frac {1}{n^{3} + n ^{2} + 1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{\epsilon} < n^{2} + n + \frac{1}{n} \leq 3n^{2} \end{eqnarray*}$

Und dann einfach nach n auflösen, korrekt?

05.05.2011, 15:28

klarsoweit

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RE: Grenzwert von Folgen

Zitat:

Original von Esto
$\begin{eqnarray*} = \frac {1}{n^{3} + n ^{2} + 1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das sollte wohl $\begin{eqnarray*} = \frac {n}{n^3 + n^2 + 1} < \epsilon \end{eqnarray*}$ heißen.

Zitat:

Original von Esto
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{\epsilon} < n^{2} + n + \frac{1}{n} \leq 3n^{2} \end{eqnarray*}$

Und dann einfach nach n auflösen, korrekt?

Nun ja, das Problem ist nun, daß aus $\begin{eqnarray*} \frac {1}{\epsilon} \leq 3n^2 \end{eqnarray*}$ nicht folgt, daß auch $\begin{eqnarray*} \frac {1}{\epsilon} < n^2 + n + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gilt. Besser wäre es, so vorzugehen:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{\epsilon} < n \Rightarrow \frac {1}{\epsilon} < n^2 + n + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

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