Maximum Likelihood Aufgabe

05.05.2011, 09:14

Newcomerin

Maximum Likelihood Aufgabe

Meine Frage:
Hallo!!
Kann mir hier jemand bitte weiterhelfen??
Ich soll diese Beispiel mit Hilfe der Maximum Likelihood Schätzung lösen:
Genetikexperiment,
Stichprobe von n Individuen wurde auf a,b,c gefunden auf eine der drei möglichen Gentypen GG, Gg, gg
Populationshäufigkeit von Gen des Typ G ist theta/(theta+1) (theta ist unbekannt)
Individuen sind unabhängig; und zwei Gene in einem Individuum sind ebenfalls unabhägig
Zeige:
likelihood of theta ist proportional zu theta^(2a+b)/(1+theta)^(2a+2b+2c)
und Maximum Likelihood Schätzer von theta ist (2a+b)/(b+2c)

Meine Ideen:
Bezüglich Hilfe wäre ich sehr dankbar, weiß leider nicht wo anfangen unglücklich

DANKE!!!

05.05.2011, 10:28

Huggy

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RE: Maximum Likelihood Aufgabe

Zitat:

Original von Newcomerin
weiß leider nicht wo anfangen unglücklich

Das ist eine seltsame Frage. Die ML-Methode läuft doch immer nach demselben Schema ab:

(1) Schreib dir die Wahrscheinlichkeit hin, a Exemplare GG, b Exemplare Gg und c Exemplare gg zu finden. Das ist die Likelihood L der Stichprobe.

(2) Ermittle das Miximum von L durch Ableiten nach dem unbekannten Parameter.

05.05.2011, 10:40

Newcomerin

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Das ist jetzt eig eine blöde Frage aber
meine Wahrscheinlichkeit ist ja für G theta/(theta+1)
und wie hoch ist dann für GG? [theta/(theta+1)]²
gG? und
gg? 1 - (theta/theta+1)

05.05.2011, 10:49

Huggy

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Zitat:

Original von Newcomerin
Das ist jetzt eig eine blöde Frage aber
meine Wahrscheinlichkeit ist ja für G theta/(theta+1)
und wie hoch ist dann für GG? [theta/(theta+1)]²

Ja.

Zitat:

gG?

Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit für g?
Es muss doch gelten:

$\begin{eqnarray*} P(X=G)+P(X=g)=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

gg? 1 - (theta/theta+1)

Nein!
Wenn du die Wahrscheinlichkeit für g hast, sollte die Antwort klar sein.

05.05.2011, 11:11

Newcomerin

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Wahrscheinlichkeiten:
GG -> [theta/(theta+1)² (t . . . theta)
Gg -> 1- [t/(t+1)]
gg -> {1-[t/(t+1)]}²

und mein L = ?

L(a,b,c/t)= a * p(GG) * b * p(Gg) * c * p(gg)

:/

traurig

05.05.2011, 11:32

Huggy

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Zitat:

Original von Newcomerin
Wahrscheinlichkeiten:
GG -> [theta/(theta+1)² (t . . . theta)
Gg -> 1- [t/(t+1)]
gg -> {1-[t/(t+1)]}²

und mein L = ?

L(a,b,c/t)= a * p(GG) * b * p(Gg) * c * p(gg)

Tut mir leid, bis auf GG ist das alles Unfug! unglücklich

$\begin{eqnarray*} P(X=G)=\frac{t}{1+t} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} P(X=g)=1-P(X=G)=??? \end{eqnarray*}$

Es ist dann:

$\begin{eqnarray*} P(XX=GG)=(P(X=G))^2 \end{eqnarray*}$

Das hattest du richtig.

$\begin{eqnarray*} P(XX=Gg) = 2 \cdot P(X=G)\cdot P(X=g) \end{eqnarray*}$

Der Faktor 2 weil Gg ja auch als gG auftreten könnte. Das spielt für das Maximum von L aber keine Rolle, weil es ein konstanter Faktor ist.

$\begin{eqnarray*} P(XX=gg)=(P(X=g))^2 \end{eqnarray*}$

Und schließlich

$\begin{eqnarray*} L=k\cdot p(GG)^a \cdot p(Gg)^b \cdot p(gg)^c \end{eqnarray*}$

Die Proportionalitätskonstante k musst du nicht ermitteln, da das Maximum von ihr nicht abhängt.

05.05.2011, 11:58

Newcomerin

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Tut mir leid, bis auf GG ist das alles Unfug! unglücklich

Sorry
vielen vielen Dank für deine Hilfe smile

und deine Geduld!!!

$\begin{eqnarray*} P(X=G)=\frac{t}{1+t} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} P(X=g)=1-P(X=G)=??? \end{eqnarray*}$

Das ist dann ja
1 - (t/1+t)

$\begin{eqnarray*} P(XX=Gg) = 2 \cdot P(X=G)\cdot P(X=g) \end{eqnarray*}$

Der Faktor 2 weil Gg ja auch als gG auftreten könnte. Das spielt für das Maximum von L aber keine Rolle, weil es ein konstanter Faktor ist.

$\begin{eqnarray*} P(XX=gg)=(P(X=g))^2 \end{eqnarray*}$

Und schließlich

$\begin{eqnarray*} L=k\cdot p(GG)^a \cdot p(Gg)^b \cdot p(gg)^c \end{eqnarray*}$

Die Proportionalitätskonstante k musst du nicht ermitteln, da das Maximum von ihr nicht abhängt.[/quote]

L = k* [t/(1+t)]^2a * [2*t/((1+t)^2)]^b * [1/(1+t)]^2c

Kann man hier jetzt vom Ausdruck den man hoch b rechne den 2 herausheben (bzw 2^b) nd k weglassen, dann wäre ja den ersten Punkt gezeigt oder?

Und für Punkt 2 muss man L ableiten? nach a b und c?

05.05.2011, 12:17

Newcomerin

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Nein. . .
für den Schätzer muss ich ja ableiten, oder? und wie?? :-/

05.05.2011, 12:29

Huggy

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L ist jetzt korrekt.

Den Faktor 2 und den Faktor k kannst du, wie ich schon sagte, einfach ignorieren (weglassen). Du kannst ihn auch mitnehmen. Er fällt beim Nullsetzen der Ableitung dann weg. L' = 0 und k*L' = 0 haben dieselben Lösungen.

Liest du eigentlich, was ich schreibe? Ich sagte doch schon, du musst L nach dem unbekannten Parameter ableiten und das ist t. a, b und c sind doch bekannt. Wie man ableitet, solltest du wissen.

05.05.2011, 12:46

Newcomerin

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Danke!!!!
Bin nur immer wieder verwirrt wenn ich keine Zahlen habe. . . .
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! smile

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