Fenchel-Konjugierte

05.05.2011, 10:13	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
Fenchel-Konjugierte Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der Bestimmung der Fenchel-Konjugierten. Zur Info: Die Fenchel-Konjugierte (andere Namen konvex Konjugierte, Legendre-Transformierte, Polar-Funktion) einer Funktion $\begin{eqnarray} F:V \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ \infty \right\} \end{eqnarray}$ ist definiert als $\begin{eqnarray} F^: V^* \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ \infty \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F^(v^) = \sup_{v\in V} \left\{ < v,v^* > - F(v) \right\} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ der Dualraum zu V ist. Meine Funktion, zu der ich nun die Fenchel-Konjugierte suche, lautet $\begin{eqnarray} F: H_0^1(\Omega) \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ \infty \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(u) = \frac{1}{2} \int_{\Omega} \|Ku - z\|^2 \, dx + \frac{\mu}{2} \int_{\Omega} \|\nabla u\|^2_2 \, dx \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} K: L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega) \end{eqnarray}$ ein stetiger linearer Operator ist. Kann mir jemand helfen und einen Ansatz nennen, wie ich $\begin{eqnarray} F^* \end{eqnarray}$ bestimme. An sich muss man ja den Ausdruck im Supremum ableiten und Null setzen. Aber ich weiß nicht genau, wie das Dualitätsprodukt $\begin{eqnarray} < \cdot , \cdot >_{H_0^1,H^{-1}} \end{eqnarray*}$ aussieht und wie ich F ableite.... Vielen Dank für jede Hilfe! Toasten

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