Probleme bei komplizierter Aufgabe

08.12.2006, 17:12

El_Snyder

Probleme bei komplizierter Aufgabe

Hallo zusammen!
Ich schreibe am Montag die nächste Mathe-Klausur und bin deshalb noch einmal einige Aufgaben im Buch durchgegangen. Jetzt hänge ich allerdings an einer, wo ich seltsamerweise überhaupt nicht weiterkomme :>

Folgendes:

Zur Erschließung neuer Öl- und Erdgasvorkommen müssen zunehmend tiefer liegende Lagerstätten erschlossen werden. Dabei erhöhen sich die Kosten sehr start: Eine Bohrung in 1000m Tiefer kostet rund 800000 €, in 4000m Tiefe 7Mio. € und für eine Bohrung in 6000 m Tiefe bereits etwa 40Mio. €.

a) Zeichnen sie die gegebenen Werte in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Bestimmen sie die gazrationale Funktion f vom Grad 2, deren Graph durch diese Punkte verläuft. Zeichnen sie den Graphen von f in das vorhandene Koodinatensystem.

b)Beurteilen Sie diesen Funktionsansatz. Nehmen sie einen sachlich begründeten weiteren Punkt hinzu und bestimmen sie eine neue, bessere Funktion g.

c) Berechnen sie mithilfe der Funnktion g, um wie viel die Kosten von der 6km uf die 12km Bohrung steigen. Wie groß ist diese Steigerung iin %?

So, für die a) hab ich mir den Graphen mit den drei gegebenen Punkten mal in Excel zeichnen lassen. Sieht eigentlich eher nach einer exponentiell zunehmenden Funktion aus, aber es ist ja nach einem Polynom 2. Grades gefragt, also f(x) = ax² + bx + c

Aber wie komme ich jetzt an die Gleichung? Es sind doch nur drei Bedingungen gegeben, und ich wüsste nicht, wie ich mein Koordinatensystem so wählen könnte, dass nur noch zwei Parameter gesucht werden müssen.

08.12.2006, 17:20

Musti

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RE: Probleme bei komplizierter Aufgabe
Drei Bedigungen reichen aus um an eine Funktion 2 Grades zu kommen

Erstelle ein LGS und löse einzelnd nach den unbekannten koeffizienten auf.

08.12.2006, 17:43

El_Snyder

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Hast Recht smile

Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2 \frac{133}{150} x^2 - 12 \frac{11}{30} x + 10 \frac{7}{25} \end{eqnarray*}$

Okay, dann zur b)
Was genau ist mit beurteilen gemeint? Und wie kann man die Funktion überhaupt verbessern, was ist darunter zu verstehen?

EDIT: Der Graph dieser Funktion hat bei x = 2,142 ein Minimum. Ist es daher überhaupt möglich, dass diese Funktion den gegebenen Sachverhalt beschreiben kann? Das würde ja bedeuten, dass eine Bohrung in 1 Km Tiefe 0,8 Mio. € kosten würde, dass man jedoch bei einer Bohrung in 2,142 Km Tiefe ca. 2,965 Mio. € "erhalten" würde ?!

08.12.2006, 18:55

yeti777

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Hallo El Snyder!

Zu a): Ich bekomme ein anderes Resultat verwirrt

. Siehe Anhang.

Frage: Hast du das LGS zuerst konditioniert? Wenn du nämlich einfach Meter und Euro einsetzest, ergibt sich ein sehr schlecht konditioniertes System mit ungenauer Lösung. Wie du aus der Grafik ersiehst, verwende ich Kilometer und Mio. Euro als Einheiten. Damit wird das LGS stabil.

Zu b): Die Kostenfunktion hat zwei Nullstellen und ein Minimum. Das ist nicht plausibel. Ich denke, die Idee ist, einen vierten Punkt derart zu wählen, dass das Interpolationspolynom durch die vier Punkte monoton steigend ist.

Gruss yeti

08.12.2006, 19:07

El_Snyder

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hmm... ich wüsste nicht, wo ich mich hätte verrechnen können

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) = 0,8 = a + b + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 0,8 - b - c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(4) = 7 = 16a + 4b + c = 16 (0,8 - b - c) + 4b + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{29}{60} - 1 \frac{1}{4} c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(6) = 40 = 36a + 6b + c = 36 (0,8 - b - c) + 6b + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 40 = 28,8 - 30b - 35c = 28,8 - 30 (\frac{29}{60} - 1 \frac{1}{4} c) - 35c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 10 \frac{7}{25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{29}{60} - 1 \frac{1}{4} \cdot 10 \frac{7}{25} = -12 \frac{11}{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 0,8 - (-12 \frac{11}{30}) - 10 \frac{7}{25} = 2 \frac{133}{150} \end{eqnarray*}$

08.12.2006, 23:22

yeti777

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Zitat:

Original von El_Snyder
hmm... ich wüsste nicht, wo ich mich hätte verrechnen können

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) = 0,8 = a + b + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 0,8 - b - c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(4) = 7 = 16a + 4b + c = 16 (0,8 - b - c) + 4b + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{29}{60} - 1 \frac{1}{4} c \end{eqnarray*}$

Der Koeffizient von c ist falsch. Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$ . Ein Schreibfehler? Hast du die vorgegebenen x-Werte in deine Funktion eingesetzt und die sich ergebenden Werte überprüft?

Zu b): Wenn du weitere Bedingungen dazu nimmst, musst du den Polynomgrad erhöhen.

Gruss yeti

09.12.2006, 00:11

El_Snyder

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$\begin{eqnarray*} \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ smile

09.12.2006, 21:55

El_Snyder

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sry 4 doppelpost.... aber hat niemand mehr eine idee oder kann mir meine gleichung bestätigen bzw. meine beurteilung dieser gleichung.

zur erinnerung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2 \frac{133}{150} x^2 - 12 \frac{11}{30} x + 10 \frac{7}{25} \end{eqnarray*}$

"Der Graph dieser Funktion hat bei x = 2,142 ein Minimum. Ist es daher überhaupt möglich, dass diese Funktion den gegebenen Sachverhalt beschreiben kann? Das würde ja bedeuten, dass eine Bohrung in 1 Km Tiefe 0,8 Mio. € kosten würde, dass man jedoch bei einer Bohrung in 2,142 Km Tiefe ca. 2,965 Mio. € "erhalten" würde ?!"

09.12.2006, 23:42

inf1nity

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Dein Ergebnis kann ich bestätigen.

Aus praktischer Sicht ist dies aber absolut unsinnig, wie du schon richtig erkannt hast.
Als Bereinigung dürfte die Funktion niemals Null werden im positiven x-Bereich.
Das wäre die einzige Bedingung. Einen erst fallenden und anschließend steigenden Verlauf könnte man sich in der Wirtschaft vorstellen.

Was mich allerdings verwundert ist, dass die Aufgabe es einem selbst überlässt einen Punkt zu finden um das ganze zu bereinigen.
Weil aus meiner Sicht gibt es da keinen eindeutigen Punkt, so dass jeder der diese Aufgabe rechnet auf andere Werte kommt.
Oder sehe ich da etwas falsch?

10.12.2006, 01:45

El_Snyder

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vielen dank für die antwort smile

und ja, ich denke du hast recht, dass man, wie yeti bereits sagte, einen vierten punkt mehr oder weniger beliebig wählen muss, um einen monoton steigenen funktionsgraphen zu erhalten.

dann wäre das ganze zumindest wahrscheinlicher Augenzwinkern

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