Verschoben! Arbeit hängt nicht vom Weg ab - Wegintegral?

05.05.2011, 13:40	donvito	Auf diesen Beitrag antworten »
Arbeit hängt nicht vom Weg ab - Wegintegral? Meine Frage: Ich soll zeigen, dass die Arbeit, die eine Kraft $\begin{eqnarray} \vec{F} = -\vec{\nabla} U \end{eqnarray}$ bei der Bewegung eines Teilchens von A nach B leistet, nicht vom Weg abhängt. U soll dabei eine eindeutige Funktion des Ortes mit stetigen partiellen Ableitungen sein. Ich würde für U einfach U = xyz nehmen...Geht das? Meine Ideen: Das muss irgendwie mit Wegintegralen gehen. Leider habe ich keinen Plan wie... $\begin{eqnarray} A_{AB} = \int_A^B \! F \, dt \end{eqnarray}$ Bitte verschieben in Hochschulmathematik.
05.05.2011, 14:16	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arbeit hängt nicht vom Weg ab - Wegintegral? Das ist auch wieder etwas so Grundlegendes, dass man den Beweis sicher zuhauf im Netz findet. Er steht auch auf Wikipedia. Du kannst jedenfalls für U keine feste skalare Funktion nehmen, ein einzelnes Beispiel reicht ja nicht für einen allgemeinen Beweis. Durch die Festlegung von U wäre ja auch das Feld F schon fest. Nimm dir ein Gradientenfeld $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ und eine beliebige parametriserte Kurve $\begin{eqnarray} \vec r(t) \ \ , \ \ a \leq t\leq b \end{eqnarray}$ und guck dir das Integral mal an.
06.05.2011, 12:39	donvito	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie beweise ich die Umkehrung, also Wegintegral ist unabhängig ==> $\begin{eqnarray} F = - \nabla U \end{eqnarray}$ (ein konservatives Feld)? Man müsste ja zeigen, dass das Integral nur dann unabhängig sein kann, wenn F ein konservatives Feld ist. Könnte man das durch einen Gegenbeweis machen, indem man zeigt, dass bei einem nicht-konservativen Feld das Wegintrgral auch nicht unabhängig ist?

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