Umrechnung der Geschwindigkeit in Kartesische Koord.

05.05.2011, 14:27

donvito

Umrechnung der Geschwindigkeit in Kartesische Koord.

Ich komme nicht so ganz drauf, wie ich die Geschwindigkeit in kartesischen Koordinaten kriege.

Klar ist
$\begin{eqnarray*} x(t) = r(t) sin(\theta (t)) cos (\phi (t)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = r(t) sin(\theta (t)) sin (\phi (t)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z(t) = r(t) cos(\theta (t)) \end{eqnarray*}$

Das müsste ich jetzt also nach t ableiten? Mein Produkt und Kettenregel ist klar, aber da kommt so eine ewig lange Formal raus, für jedes Einzelne Element des Vektors, das kann irgendwie nicht sein. Zumal ich auch noch die Beschleunigung berechnen soll.

Es muss also einen einfacheren Weg geben...

05.05.2011, 15:03

Steffen Bühler

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RE: Umrechnung der Geschwindigkeit in Kartesische Koord.
Vielleicht hilft die Umformung

$\begin{eqnarray*} sin[\theta (t)] \cdot sin[\phi (t)] = \frac{cos[\theta (t)-\phi (t)] - cos[\theta (t)+\phi (t)]}{2} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

11.05.2011, 14:49

donvito

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Naja, nicht wirklich... Die Berechnung wird dadurch nur ein ganz kleines bisschen einfacher...

Also ich kann mir wirklich nicht vorstellen, dass man in theoretische Physik II solche reinen Formelschlangen lösen muss.... Da muss doch irgendwo noch ein Trick dabei sein, mit dem es ganz einfach ist.

Wenn ich das wenigstens mit Mathematica machen könnte wäre ich glücklich. Aber ich kriege das da nicht gebacken mit selbst definierten Funktionen.

11.05.2011, 15:55

Ehos

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Du musst einfach die 3 örtlichen Komponenten nach der Zeit ableiten und dabei die Kettenregel beachten. Die Geschwindigkeit ist also

$\begin{eqnarray*} \dot {\vec x}=\begin{pmatrix} \dot r \cos(\phi)\sin(\theta)- r\dot \phi \sin(\phi)\sin(\theta)+r\dot \theta \cos(\phi)\cos(\theta)\\ \text{2.Komponente ableiten} \\ \text{3.Komponente ableiten} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 16:17

Rmn

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Zitat:

Original von donvito
Also ich kann mir wirklich nicht vorstellen, dass man in theoretische Physik II solche reinen Formelschlangen lösen muss....

Oh lass dich überraschen Big Laugh

Da du hier eine Kugelparametrisierung hast, ist es viel einfacher, wenn du erst die Geschwindigkeit/Beschleunigung in Kugelkoordinaten berechnest und dann in kartesische Koordinaten übergehst.
Ansonsten, wie Echos schreibt, direkt ableiten.

11.05.2011, 19:02

donvito

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Ich muss irgendwie da durch.... Big Laugh

Also die Geschwindigkeit habe ich nun dank eurer Unterstützung. Beschleunigung ist mir jetzt aber echt zu blöd, ganz ehrlich.... Für die paar Punkte tu ich mir das dann auch nicht an. Das ist nämlich nur der erste von 3 Teilen der Aufgabe.

11.05.2011, 19:39

sergej88

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Aus eigener Erfahrung kann ich sagen, rechne das nach. Die rechnungen werden sicherlich nicht kürzer. Jedoch hat man, wenn man oft genug sowas berechnet hat eine gewisse Geschwindigkeit und erfahrung. Dieses macht sich durchaus bemerkbar.
Alternativ kannst du ja auch die Einheitsvektoren
$\begin{eqnarray*} e_{r}, e_{\varphi}, e_{\Theta} \end{eqnarray*}$
benutzen. Diese vereinfachen die Rechnungen schon um einiges.

PS: dabei hast du es noch gut, musste sowas in Theo I berechnen...
mfg

11.05.2011, 22:56

donvito

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Keine Zeit mehr, morgen ist Abgabe Big Laugh

Also bei uns wurde das gerade umgestellt, Theo I = mathematische Grundlagen, Theo II = die maximalkonfuse Anwendung derselbigen.

Zum Glück muss ich als Nebenfächler nur noch Theo II schaffen. Danach werde ich euch NIE wieder belästigen Big Laugh

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