Stetigkeit - Delta Epsilon

05.05.2011, 14:48	cybersepp	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit - Delta Epsilon Meine Frage: Hallo liebe Leute, dies ist mein erster Beitrag hier im Forum, deswegen hoffe ich, dass ihr mir meine Unbeholfenheit etwas nachsehen könnt. Und zwar habe ich nun folgende Frage zu Stetigkeit: Zum ersten muss ich Funktionen mittels der Epsilon-Delta-Definition nachweisen. Das Problem dabei ist nun aber, dass ich trotz zahlreicher Bücher und auch Recherche hier im Forum nun noch nicht herausgefunden habe, was ich nun am Ende einer Berechnung mittels dieser Definition herausbekommen muss und wie ich nun damit zeigen kann, dass eine Fkt. stetig bzw. nicht stetig ist. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir das vielleicht jemand "idiotensicher" erklären kann. Diese Aufgabe wäre ein Beispiel für das was ich meine: 1. $\begin{eqnarray} f: R->R, f(x) = x^{2} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} f: R->R, f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zur ersten Aufgabe komme ich soweit: $\begin{eqnarray} \| f(x) - f(x_0)\| = \| x^2 - a^2\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Hier versuche ich nun die linke Seite so umzustellen, dass $\begin{eqnarray} \| x - x_0\| \end{eqnarray}$ übrig bleibt um das dann mit \delta zu ersetzten, dann komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} \| x^2 - a^2\| < \epsilon = \| x - 1 \| \|x + 1\| < \epsilon \end{eqnarray}$ das löse ich dann nach $\begin{eqnarray} \| x - 1 \| \end{eqnarray}$ auf, folgt: $\begin{eqnarray} \| x - 1 \| < \epsilon : \|x + 1\| \end{eqnarray}$ So wie ich das nun recherchiert hab, darf rechts aber kein x stehen bleiben, wie bekomme ich das weg? Dann habe ich noch einen zweiten Rechenweg gefunden: $\begin{eqnarray} \| x^2 - a^2\| < \epsilon = \| x - 1 \| \|x + 1\| < \epsilon \end{eqnarray}$ und dann wird das $\begin{eqnarray} \| x - 1 \| \end{eqnarray}$ ersetzt mit $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ , daraus folgt: $\begin{eqnarray} \| x - 1 \| \|x + 1\| < \delta \|x + 1\| \end{eqnarray}$ aber wie geht es dann weiter?
06.05.2011, 08:43	cybersepp	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand aus meinem Schlamassel raus helfen? LG
06.05.2011, 12:37	kidmaen	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, ich hänge selbst gerade an der aufgabe. eine lösung habe ich bereits verstanden aber an einer anderen knacke ich irgendwie auch noch rum also verzeihe man mir eventuelle fehler! grundsätzlich musst du ja zeigen, dass aus $\begin{eqnarray} \|x-x0\|<\delta \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x0)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ demnach müsst du $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x0)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ entsprechnend abschätzen! weiter gilt $\begin{eqnarray} \|x-x0\|<\delta \end{eqnarray}$ dann folgt: $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x0)\| = \|x^2-x0^2\|=\|(x-x0)(x+x0)\| =\|x-x0\|\|x+x0\| \end{eqnarray}$ jetzt musst du dir überlegen wie du abschätzen kannst und delta einbringen könntest weil da ja am ende irgendwas mit ...< irgendwas mit delta.....< epsilon haben willst. dann kannst du delta entsprechend wählen und die definition der stetigkeit gilt. ich hoffe mal das konnte dir bisi weiterhelfen....wie gesagt, bin da selbst erst neuling! (ich hänge gerade selbst an einem anderen lösungsweg derselben aufgabe....vllt hilft dir die ja weiter? ich raff nur die abschätzung da nicht siehe hier ->Stetigkeit)
06.05.2011, 18:02	cybersepp	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Link! Zusammen werden wir das doch wohl hinbekommen (gern auch mit weiterer Hilfe! $\begin{eqnarray} 0 < \delta < \frac{x0}{2} \end{eqnarray}$ Grob verstehe ich den Link den du geschickt hast. Leider aber auch nur bis es heißt: das abgeschätzt wird mit: $\begin{eqnarray} 0 < \delta < \frac{x0}{2} \end{eqnarray}$ Kann das irgendwer vielleicht verstädlich erklären, was ich hier abschätze, also auf was schaue ich? Und wie kommt man dann auf $\begin{eqnarray} 0 < \delta < \frac{x0}{2} \end{eqnarray}$ (warum genau $\begin{eqnarray} \frac{x0}{2} \end{eqnarray}$ ???
06.05.2011, 19:03	cybersepp	Auf diesen Beitrag antworten »
es steht wirklich viel in Foren darüber drin, aber ich komm einfach nicht weiter. Kann mir / uns irgendwer den einen Schritt noch erklären: Wie ich was warum abschätze, um auf: $\begin{eqnarray} 0 < \delta < \frac{x0}{2} \end{eqnarray}$ zu kommen?
06.05.2011, 22:31	kidmaen	Auf diesen Beitrag antworten »
naja das $\begin{eqnarray} \frac{x0}{2} \end{eqnarray}$ ist im wahrsten sinne des wortes "abgeschätzt"....also willkürlich. das geht meines wissens deshalb, weil wir uns ja nur für möglichst kleine epsilon bzw. delta interessieren und wir demnach delta ruhig nach oben beschränken können. unschlüssig für mich sind nur die folgenden ungleichungen in dem anderen threat
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06.05.2011, 22:43	kidmaen	Auf diesen Beitrag antworten »
ich zeige dir mal noch die andere lösung die ich hier habe. die ist für mich recht schlüssig. $\begin{eqnarray} ...=\|x-x0\|\|x+x0\|\leq \|x-x0\|\|2(x0+\delta)\|=\|x-x0\|\|2x0+2\delta\|\leq 2\delta\|x0\|+2\delta^2 \end{eqnarray}$ der letzte term kann beliebig klein gemacht werden. demnach auch kleiner epsilon! damit wäre dann gezeigt, dass die funktion an jeder stelle x0 das epsilon-delta kriterium erfüllt. jetzt müssten wir nur noch diese andere abschätzung raffen....aber mein hirn ist auch schon lang fertig für heute beste grüße!

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