Kartesische Produkt

05.05.2011, 15:19

Cheftheoretiker

Kartesische Produkt

Unter dem Kartesischen Produkt versteht man die Menge aller geordneten Paare.

Bsp:

$\begin{eqnarray*} A=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B=\{4,5,6\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} AxB=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\} \end{eqnarray*}$

Das Kartesische Produkt ist nicht kommutativ, ist das korrekt? Also ich dürfte nicht von $\begin{eqnarray*} BxA \end{eqnarray*}$ die Paare bilden? Ist das Kartesische Produkt dafür zuständig, dass es so etwas wie ein Koordinatensystem gibt? Weil in der Menge sind ja so gesehen auch Punkte enthalten die eine Funktion abbilden könnten? verwirrt

05.05.2011, 19:13

Pascal95

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Ja, das kartesische Produkt ist nicht kommutativ. Das kannst du dir an einem einfachen Beispiel klar machen. $\begin{eqnarray*} A \times B \neq B \times A \end{eqnarray*}$ (verwende ruhig dein Beispiel mit den Mengen A und B).

Ja, man kann alle Punkte auf der Fläche durch $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ (Kartesisches Koordinatensystem) angeben, wobei $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ .

05.05.2011, 19:33

Cheftheoretiker

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Ja okay, dann wären die Paare genau anders herum, also die x-Koordinate wäre die y-Koordinate und andersherum.

Also wie du ja bereits geschrieben hast, bildet das KO dann $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ .

Noch eine Frage, das Wort n-Tupel ist noch in meinem Buch aufgetaucht. Beschreibt das lediglich wenn die Paare abzählbar unendlich werden, dass man dann von Tupeln spricht? verwirrt

05.05.2011, 19:42

Pascal95

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Dazu solltest du mal den Artikel hier lesen.

Ein geordnetes (Zahlen)paar ist ein Spezialfall von einem Tupel.

Ein n-Tupel ist solch ein Objekt: $\begin{eqnarray*} (x_1, x_2, ..., x_n) \end{eqnarray*}$ . Es ist also eine endliche Liste (also eine Liste mit endlich vielen Einträge) von anderen Objekten (meist Zahlen) und bildet ein neues Objekt.

Sonderfälle sind z.B. das 2-Tupel, man nennt es auch (geordnetes) (Zahlen)paar, oder das 3-Tupel, man nennt es "Tripel".

Wichtig: Ein Tupel ist keine Menge! Bei einer Menge spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle. Bei einem Tupel spielt die Reihenfolge der Objekte aber eine Rolle und es dürfen Objekte mehrfach auftreten.

Tupel benutzt man z.B. als Koordinaten, um Punkte in Räumen zu beschreiben.

05.05.2011, 20:32

Cheftheoretiker

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Okay, schonmal danke für die Hilfe.

Morgen werde ich zu dem Themengebiet noch Aufgaben einstellen. Bis dahin schonmal danke! smile

05.05.2011, 20:34

Pascal95

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Jo, bitte.

Aber wenns eine andere Aufgabe ist, dann neuer Thread Augenzwinkern

07.06.2011, 10:28

Andrea8453

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kartesische Produkt
Hallo,

kann mir jemand bei folgendem Bsp weiterhelfen. Ich soll das kartesische Produkt der Mengen A = { 1,2} und B = {x € N | x^2 < 15} bilden.

Allerdings ist mir die Menge B etwas unklar...

07.06.2011, 10:43

netcrack

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RE: Kartesische Produkt
Löso doch mal die ungleichung:

$\begin{eqnarray*} x^{2}<15 \end{eqnarray*}$ für x € N

07.06.2011, 10:47

Andrea8453

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RE: Kartesische Produkt

Zitat:

Original von netcrack
Löso doch mal die ungleichung:

$\begin{eqnarray*} x^{2}<15 \end{eqnarray*}$ für x € N

Ja, das wäre mit Taschenrechner schon klar... einfach Wurzelziehen und man hätte das x, oder? aber wie macht man das ohne TR?

07.06.2011, 11:02

netcrack

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RE: Kartesische Produkt
ich weiß nicht ob ich dich richtig verstehe...

Du weißt schon das:

$\begin{eqnarray*} x^{2}< 15 \end{eqnarray*}$

nicht das gleiche ist wie:

$\begin{eqnarray*} x^{2} = 15 \end{eqnarray*}$

und weist du was

x € N bedeutet??

07.06.2011, 11:11

Andrea8453

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RE: Kartesische Produkt

Zitat:

Original von netcrack
ich weiß nicht ob ich dich richtig verstehe...

Du weißt schon das:

$\begin{eqnarray*} x^{2}< 15 \end{eqnarray*}$

nicht das gleiche ist wie:

$\begin{eqnarray*} x^{2} = 15 \end{eqnarray*}$

und weist du was

x € N bedeutet??

Ja.

ist die Menge B = {x € N | x^2 < 15} = {2, 4}?

07.06.2011, 11:13

Andrea8453

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RE: Kartesische Produkt

Zitat:

Original von Andrea8453

Zitat: