Gleichheit bei Cauchy Schwarz Ungleichung

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08.12.2006, 18:00	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit bei Cauchy Schwarz Ungleichung Zu diskutieren ist der Gleichheitsfall für $\begin{eqnarray} \|x\| \|y\| - <x,y> = \frac{1} {2} \sum_{i,j=1}^n~(x_iy_j - x_jy_i)² \end{eqnarray}$ Das hab ich schon bewiesen dass am Schluss dasteht: $\begin{eqnarray} \|x\| \|y\| - <x,y> = \|x\| \|y\| - <x,y> \end{eqnarray}$ ...also dann zur Gleichheit: für x,y = 0 $\begin{eqnarray} \rightarrow \|x\| \|y\| - <x,y> = 0 =\|x\| \|y\| - <x,y> \end{eqnarray}$ andernfalls: x,y müssen linear abhängig sein. setzte: $\begin{eqnarray} a = \frac{x} {\|x\|} \ , \ b = \frac{y} {\|y\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow a=b=1 \end{eqnarray}$ denn: $\begin{eqnarray} \|a\| \in \mathbb R = \frac{x} { \|x\| } = \| \frac{1} { \|x\| } x \| = \frac{1} { \|x\|} * \|x\| = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\lambda x\| = \|\lambda\| \|x\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \| \frac{1} {\|x\| \|y\|} <x,y>\| = \|<\frac{x} {\|x\|} \frac{y} {\|y\|}>\| = \|<a,b>\| \leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \| \frac{1} {\|x\| \|y\|} <x,y>\| = \frac{1} {\|x\| \|y\|} \|<x,y>\| \rightarrow \|x,y\| \leq \|x\| \|y\| \end{eqnarray}$ Gleichheit: $\begin{eqnarray} a = \pm b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x} {\|x\|} = \pm \frac{y} {\|y\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1} {\|x\|}x \pm \frac{1} {\|y\|}y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{1} {\|x\|}x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu =\frac{1} {\|y\|}y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \ \ x,y \end{eqnarray}$ sind linear abhängig $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} \exists \lambda, \mu \ \ \in \mathbb R \end{eqnarray}$ (nicht beide Null) mit $\begin{eqnarray} \lambda x + \mu y =0 \end{eqnarray*}$ Ist das so in Ordnung? kann man das so stehen lassen oder muss ich noch was verändern bzw. ist was nicht richtig?
09.12.2006, 12:10	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner da der sich das mal anschauen kann und mir dann vllt sagen kann ob das stimmt was ich da gemacht habe?
09.12.2006, 12:17	dein komilitone in freiburg	Auf diesen Beitrag antworten »
hi chris, ich häng bei der Aufgabe: Kannst du mir mal verraten, wie du da die Gleichheit bewiesen hast? Ich check nicht ganz, warum es da 2 Laufvariablen gibt, die beide bei der gleichen Zahl starten und bis n gehen. Dann sind sie doch immer gleich, oder nicht?? Danke schon mal. Gruß M.
09.12.2006, 12:57	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Also so ganz genau kann ich dir das mit den Laufvariablen auch nicht sagen,ich weiß nur dass die Form wie sie auf dem Arbeitsblatt steht aus einem anderen Beweis stammt.Also wenn du soweit gekommen bist $\begin{eqnarray} \|x\| \|y\| - <x,y> = \|x\| \|y\| - <x,y> \end{eqnarray}$ dann musst du nur noch dazu sagen $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und linear unabhängig sind ....Beweis wie im Script. Dann müsste es eigentlich erledigt sein,denke ich
09.12.2006, 13:05	derselbe wie vorhin	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm hehe ja ok, aber ich komm nicht mal soweit lol wie soll ich da drauf kommen, dass das am ende dasteht?? ich hab jetzt mal das skalarprodukt ausgeschrieben und die summe auch in pünktchenschreibweise geschrieben, aber irgendwie ist das komisch.... weil wenn ich das summenzeichen weglasse, steht noch da $\begin{eqnarray} (x_{1}y_{1}-x_{1}y_{1})^{2} + ....... also 0^{2}+...... = 0 \end{eqnarray}$ HÄÄÄ?????
09.12.2006, 13:32	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \|x\| \|y\| - <x,y> = \frac{1} {2} \sum_{i,j=1}^n~(x_iy_j - x_jy_i)² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1} {2} \sum_{i,j=1}^n~(x²_iy²_j + x²_jy²_i - 2x_iy_ix_jy_j) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1} {2} \|x\|² \|y\|² + \frac{1} {2} \|x\|² \|y\|²-<x,y>>x,y> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \|x\|² \|y\|² -<x,y>² \end{eqnarray}$ Dann ziehst du hier die Wurzel... und schon hast du $\begin{eqnarray} \|x\|\|y\|-<x,y> = \|x\|\|y\|-<x,y> \end{eqnarray}$ Und das mit dem Beweis für Gleichheit (lineare Unabhänigkeit von x,y) hab ich einfach mal nach dem Script gemacht.Weiß aber nicht ob das so stimmt.
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09.12.2006, 13:36	MN85	Auf diesen Beitrag antworten »
aha jo so in etwa leuchtets ein, was du machst. Danke für den Tipp!!
09.12.2006, 13:44	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie machst du das mit der Gleichheit? hast du da ne idee?
10.12.2006, 18:23	tar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit bei Cauchy Schwarz Ungleichung $\begin{eqnarray} \|x\| \|y\| - <x,y> = \frac{1} {2} \sum_{i,j=1}^n~(x_iy_j - x_jy_i)² \end{eqnarray}$ also öhm ... ich weiss ja nicht ... aber laut aufgabenstellung steht da ja schon ein "=" dazwischen und wir sollen zeigen dass das gilt ... dann formst du das um das am ende dasteht $\begin{eqnarray} \|x\| \|y\| - <x,y> = \|x\| \|y\| - <x,y> \end{eqnarray}$ ... gut und schön aber warum solltest man jetzt diskutieren wann in dieser Gleichung! Gleichheit herrscht? ^^ :x
10.12.2006, 18:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal, es geht um die Frage, wann in der CSU $\begin{eqnarray} \langle x,y\rangle\leq \|x\|\|y\| \end{eqnarray}$ Gleichheit gilt: $\begin{eqnarray} \langle x,y\rangle=\|x\|\|y\| \end{eqnarray}$ . Und das ist nunmal äquivalent zu $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n~(x_iy_j-x_jy_i)^2=0 \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
10.12.2006, 18:33	tar	Auf diesen Beitrag antworten »
dann is klar

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