Kovarianz bei Portfoliobeispiel

05.05.2011, 16:53

orso7

Kovarianz bei Portfoliobeispiel

Folgendes Beispiel gilt es zu lösen,
2 Investitionsmöglichkeiten
A
jährlicher Ertrag mittelwert µa=10%; sa=10%
B
µa=20%; sa=30%

a, durch die gewichtungen wa und wb soll ein portfolio mit möglichst geringer varianz erstellt werden
b, erwarteter Ertrag dieses Portfolios
c, korrelation zwischen ertrag des Portfolios und ertrag von A
d, angenommen die korrelation beträgt 1/3, wie gewichtung wa und wb des portfolios mit der geringsten erreichbaren Varianz

a und b habe ich gelöst, und komme auf wa=0,9 und wb=0,1 damit ein µp=0,11

wie kann ich c lösen?

Die formel die ich für die kovarianz habe ist E[(X-µx)(Y-µy)]
aber wie verwende ich diese? ich steh da komplett an

lg orso

05.05.2011, 19:17

Huggy

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RE: Kovarianz bei Portfoliobeispiel
Die Formel für die Kovarianz kann auch geschrieben werden als:

$\begin{eqnarray*} Cov(X, Y)=\sigma_{XY}=E(XY)-E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$

In der Form ist sie für das Problem etwas zweckmäßiger. Nun setze

$\begin{eqnarray*} X=A, \quad Y=\alpha A +(1-\alpha) B \end{eqnarray*}$

und rechne $\begin{eqnarray*} \sigma_{XY} \end{eqnarray*}$ und anschließend den Korrelationskoeffizienten einfach aus.

06.05.2011, 07:13

orso7

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oke also wenn ich das richtig verstehe verwende ich dann µa und µp als X und Y
aber wie kann ich den erwartungswert von µa errechnen? der ist doch µa
bzw ich dachte $\begin{eqnarray*} E(XY)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ aber dann steht da bei deiner formel doch 0???

06.05.2011, 09:36

Huggy

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Zitat:

Original von orso7
oke also wenn ich das richtig verstehe verwende ich dann µa und µp als X und Y
aber wie kann ich den erwartungswert von µa errechnen? der ist doch µa
bzw ich dachte $\begin{eqnarray*} E(XY)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ aber dann steht da bei deiner formel doch 0???

Das sind höchst unsinnige Aussagen. A, B, X und Y sind Zufallsgrößen. $\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_B \end{eqnarray*}$ sind die Erwartungswerte von A und B und die sind in der Aufgabe gegeben:

$\begin{eqnarray*} \mu_A=E(A)=10 %, \quad \mu_B=E(B)=20 % \end{eqnarray*}$

Wegen X = A ist dann $\begin{eqnarray*} E(X)=\mu_X=\mu_A=10 % \end{eqnarray*}$ . Du musst also in der Formel für die Kovarianz nur noch E(XY) und E(Y) bestimmen. Und im allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} E(XY) \neq E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ , sonst wäre ja die Kovarianz immer 0. Du musst halt jetzt nur einsetzen und ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} E(Y)=E(\alpha A +(1-\alpha)B)= ??? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(XY)=E(A(\alpha A +(1-\alpha)B))= ??? \end{eqnarray*}$

Du kennst doch die Grundregeln für den Umgang mit Erwartungswerten?

$\begin{eqnarray*} E(X+Y)=E(X)+E(Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(\alpha X)=\alpha E(X) \end{eqnarray*}$

Dabei sollen X und Y beliebige Zufallsgrößen sein und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine beliebige reelle Zahl, nicht nur in der speziellen Bedeutung, die ich vorher für diese Aufgabe benutzt habe. Außer diesen Regeln brauchst du noch $\begin{eqnarray*} E(A^2) \end{eqnarray*}$ . Da findet man auch leicht eine passende Formel.

06.05.2011, 10:45

orso7

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ah hab ich falsch verstanden aus meinem skriptum

oke das E(X)=µa und E(Y)=µp ist mir klar, aber wie soll ich das E(XY) bestimmen? leider hab ich nichtmal irgendwo ein ähnliches beispiel gefunden anhand dessen ich mir das erklären könnte.

06.05.2011, 11:21

Huggy

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Na, erst mal multiplzierst du die Klammer innen aus. Dann verwandelst du das in eine Summe von Erwartungswerten nach der von mir genannten Regel. Aus den einzelnen Erwartunswerten kannst du dann nach der zweiten Regel die reellen Faktoren herausziehen. Es verbleibt dann $\begin{eqnarray*} E(AB) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(A^2) \end{eqnarray*}$ zu ermitteln.

Da A und B stochastisch unabhängig sein sollen (das steht zwar nirgends, ist aber anzunehmen und so hast du den ersten Teil ja auch gerechnet) gilt:

$\begin{eqnarray*} E(AB)=E(A)E(B) \end{eqnarray*}$

Wie schon gesagt, gilt das im Allgemeinen nicht. Verbleibt also noch $\begin{eqnarray*} E(A^2) \end{eqnarray*}$ . Da schaust du dir mal dir bekannte Formeln an, dann findest du schon eine passende.

06.05.2011, 11:57

orso7

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also erstmal danke für deine geduld das du mir noch hilfst ^^

das auflösen von E(XY) hab ich verstanden

da komme ich auf $\begin{eqnarray*} E(XY)=\alpha E(A^{2}) + E(A)\cdot E(B)\cdot (1-\alpha ) \end{eqnarray*}$

wobei E(A)=µa und E(B)=µb und alpha=gewichtung von A

das E(A*A) darf ich jetzt aber nicht als unabhängig hinnehmen also E(A)*E(A)

ich nehme mal an das das ist
$\begin{eqnarray*} E(A^{2})=Var(A)+E(A)^{2} \end{eqnarray*}$
oder irre ich mich da schon wieder?

06.05.2011, 12:27

Huggy

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Zitat:

Original von orso7
also erstmal danke für deine geduld das du mir noch hilfst ^^

das auflösen von E(XY) hab ich verstanden

da komme ich auf $\begin{eqnarray*} E(XY)=\alpha E(A^{2}) + E(A)\cdot E(B)\cdot (1-\alpha ) \end{eqnarray*}$

wobei E(A)=µa und E(B)=µb und alpha=gewichtung von A

Korrekt!

Zitat:

das E(A*A) darf ich jetzt aber nicht als unabhängig hinnehmen also E(A)*E(A)

Natürlich nicht! Eine Zufallsgröße kann doch nicht unabhängig von sich selbst sein.

Zitat:

ich nehme mal an das das ist
$\begin{eqnarray*} E(A^{2})=Var(A)+E(A)^{2} \end{eqnarray*}$
oder irre ich mich da schon wieder?

Duchaus nicht! Das ist es. Freude

Falls noch Fragen auftreten, heute werde ich vermutlich nur noch wenig Zeit haben zu antworten.

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