funktionen mehrere zufallsvariablen

08.12.2006, 18:13	maximAL	Auf diesen Beitrag antworten »
funktionen mehrere zufallsvariablen hallo, ich habe ein problem mit einer funktion von zwei zufallsvariablen. gegeben ist folgendes: beide variablen sind exponentialverteilt mit $\begin{eqnarray} F(x) = 1 - e^{- \lambda x} \end{eqnarray}$ erwartungswerte ist jeweils 3000 und nach $\begin{eqnarray} E(X) = 1/\lambda \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lambda = 1/3000 \end{eqnarray}$ die funktion über beide variablen lautet $\begin{eqnarray} S = X1 + X2 \end{eqnarray}$ , womit $\begin{eqnarray} E(S) = E(X1) + E(X2) = 6000 \end{eqnarray}$ sein sollte und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ für S = 1/6000 gesucht ist letzendlich P(S>=4000), also 1 - F(S<=4000). naiv wie ich bin, dachte ich, ich könnte dies nun einfach in die Funktion für F(x) einsetzen, bekomme dann aber ein falsches ergebnis. hab ich da generell was bezüglich der ermittlung der verteilungsfunktion vermasselt? gerade das ist mir nicht so ganz klar. kann ich, wenn ich mehrere zufallsvariablen mit verteilung V habe, für eine funktion davon einfach die parameter (hier $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ) mit ebendieser funktion (hier addition) neu berechnen und einfach einsetzen? bei einigen aufgaben hats so funktioniert (normal -u poissonverteilungen), hier aber wieder nicht und die informationen, die ich dazu finde sind auch irgendwie äusserst schwammig
08.12.2006, 18:23	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_1,X_2\sim\operatorname{Exp}(\lambda) \end{eqnarray}$ gegeben. Nun scheinst du anzunehmen, dass dann auch $\begin{eqnarray} S=X_1+X_2 \end{eqnarray}$ exponentialverteilt ist - da täuschst du dich: Die Summe $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist erlangverteilt, genauer $\begin{eqnarray} S\sim\operatorname{Erl}(\lambda,2) \end{eqnarray}$ . Das kannst du dir auch selbst herleiten über die Faltung der Dichten: $\begin{eqnarray} f_S(x) = \int\limits_0^x ~ f_{X_1}(t)\cdot f_{X_2}(x-t) ~ \dd t \end{eqnarray}$
08.12.2006, 18:52	maximAL	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke. faltung von dichten hat mir bis eben gar nichts gesagt. steht aucht nichts dazu im papula oder merziger...
08.12.2006, 18:55	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie berechnet ihr denn die Verteilung der Summe von Zufallsgrößen? Dabei meine ich nicht die angenehmen Sonderfälle wie Normal-, Poisson- oder Binomialverteilungen (bei letzterer muss es aber dasselbe p sein).
08.12.2006, 18:58	maximAL	Auf diesen Beitrag antworten »
frag ich mich auch grad...kannte nämlich auch nur die von dir genannten sonderfälle. ok, hier an der FH gehen wir da wohl eh nicht so tief rein, womöglich hat der prof. da wieder irgendwo eine extra herleitung gebracht....
08.12.2006, 19:05	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne die Grundlagen solcher Summenverteilungen vorher besprochen zu haben, ist die Aufgabe etwas fies, das muss man schon sagen.
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09.12.2006, 08:52	maximAL	Auf diesen Beitrag antworten »
gibts im netz auch irgendwo eine vernünftige übersicht zu dem thema? fast überall wird auf die verteilung von funktionen mehrere zufallsvariablen kaum eingegangen, und wenn, dann auch nur einige sonderfälle (additionen...aber wo sind multiplikationen?). steht das ganze wenigstend im bronstein? trag mich eh schon länger mit dem gedanken, mit den auch noch zu kaufen...

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