Äquivalente Aussagen

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalente Aussagen
Meine Frage:
Sei . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) I ist wegzusammenhängend.
(2) I ist zusammenhängend.
(3) I ist ein Intervall (offen, halboffen, abgeschlossen, beschränkt oder unbeschränkt)


Meine Frage ist nur, was ich zeigen muss:

Ist es korrekt, wenn ich zeige:

(1) (2) (3) (1)

?

Meine Ideen:
...
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wäre korrekt.

MfG
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fehlt nur noch .

Ich muss also zeigen, dass die Intervalle wegzusammenhängend sind.
Intuitiv ist die Aussage ja klar, aber wie zeigt man das?

Meine Idee:

Sei X ein Intervall in .

stetige Abbildung

Daraus folgt doch schon, dass die Intervalle auf wegzusammenhängend sind.

[Die einzigen Wege sind in diesem Fall ja Strecken - also gerade Intervalle.]


Kann man das so aufschreiben?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hast du doch nur die Definition von wegzusammenhang hingeschrieben!
du musst schon explizit die Definiton eins Intervalles benutzen. Oder halt sagen ist trivial ... was es ja iwie ist, da sind glaub ich die anderen Implikationen schwerer

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst Du damit, dass ich explizit die Definition eines Intervalls benutzen muss?


[Ich würde gerne "trivial" hinschreiben, aber das ist nicht gerne gesehen.]
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du kannst ja einen Weg explizit angeben, welches ja gerade die Aufgabe ist. Anschliessend musst du ja begründen, dass dieser Weg stetig ist und komplett in X liegt. Dazu musst du halt die Definition eines Intervalles benutzen.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sergej88
Ja du kannst ja einen Weg explizit angeben, welches ja gerade die Aufgabe ist. Anschliessend musst du ja begründen, dass dieser Weg stetig ist und komplett in X liegt. Dazu musst du halt die Definition eines Intervalles benutzen.


Der explizite Weg ist doch die Funktion, die ich oben angegeben habe (oder man nimmt als expliziten Weg eine Funktion .), wobei X Intervall sein soll und x und y Punkte in diesem Intervall.

Und ich muss jetzt begründen, dass diese Funktion stetig ist und in X liegt.

Wenn ich jetzt zum Beispiel die Definition eines offenen Intervalls nehme, also



Die obige Funktion ordetn doch jetzt jedem Punkt aus dem Intervall [0,1] einen Punkt aus dem Intervall [x,y] zu. Die Endpunkte sind gegeben durch x und y. Alle anderen Bilder von Punkten 0<x<1 liegen doch dann zwischen x und y und damit im Intervall X. Der Weg liegt also ganz in X.

Und warum ist das jetzt stetig?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist immernoch kein explizit angegebener Weg. Wie wärs mit


wie du siehst ist dieser Weg nicht gut. Also gib explizit mit Formel einen an. Über diesen lässt sich dann auch reden.

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also zum Beispiel

, falls t=0
, falls t=1
, sonst




?


Oder noch eine Idee:

, falls t=0
, falls t=1
, sonst

?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Weg hat als Bild dann nur 3 Werte???
Der zweite liefert doch nur für y = x+1 das gewünschte.. Pass die Wege erstmal an oder überleg dir wie ein Weg aussehen sollte.

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie ich das ausdrücken kann!

Mein erstes Beispiel bedeutet so, wie es da steht tatsächlich, dass es nur 3 Werte geben würde, womit die Funktion nicht stetig wäre.

Ich meine es halt so:

t=0 wird abgebildet auf x
t=1 wird abgebildet auf y

Und jedes t zwischen 0 und 1 wird jeweils auf einen Wert abgebildet, der zwischen x und y liegt, sodass man am Ende eine Linie ziehen kann für den Graphen von , die bei x beginnt und bei y endet.


Formal weiß ich nicht, wie ich das notieren kann. verwirrt
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Benutze parametergeradengleichungen so wie man die schon aus der Schule her kennt. In einer Dimension geht es ja genauso. Geradelinige Verbindung wäre ein Stichwort...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst Du vielleicht:

Für alle t zwischen 0 und 1:



resp.

?



[Dann wäre der explizite Weg als Ganzer also gegeben durch , er würde damit komplett in dem Intervall X liegen und stetig ist diese Funktion auch.]

Mit anderen Worten:
Für jedes Intervall, ob nun offen, abgeschlossen oder sonstwie, kann man diesen Weg definieren und damit ist gezeigt, dass Intervalle im wegzusammenhängend sind, also .
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