Verschoben! Logarithmischer Ausdruck

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05.05.2011, 18:53	epidrom	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmischer Ausdruck Gegeben ist folgender logarithmischer Ausdruck: $\begin{eqnarray} log_{a}b^{3}-2log_{a}b+\frac{1}{2}log_{a}2b^{4} \end{eqnarray}$ ; a,b > 0 Das Ergebnis der Umformung ist: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}log_{a}2b^{6} \end{eqnarray}$ Meine Idee: Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} log_{a}a=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} log_{2}0,5=-1 \end{eqnarray}$ Mir ist das Prinzip durchaus bekannt. Aber wenn ich den Ausdruck umstelle komm ich auf Folgendes: (wobei ich den letzten Logarithmus irgendwie doch nicht lösen kann) $\begin{eqnarray} log_{a}b^{3}=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2log_{a}b=-2\cdot 1=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}log_{a}2b^{4}=? \end{eqnarray}$ Könnt ihr mir kurz helfen bzw. stimmt das Obige denn? mfg epi
05.05.2011, 21:03	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmischer Ausdruck Logarithmengesetzt beachten! Eine Hochzahl wird durch das Logarithmieren zu einem Faktor, daher $\begin{eqnarray} \log_ab^3=3 \cdot \log_ab \end{eqnarray}$ Beim zweiten Summanden ist nichts zu machen. Beim dritten: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. Probier nochmal. Das 1/2 bezieht sich dann auf beide Logarithmen.
06.05.2011, 21:22	epidrom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also meinst du dann so: 1. $\begin{eqnarray} 3log_{a}b \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} -2log_{a}b \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}log_{a}2+\frac{1}{2}log_{a}b^{4} \end{eqnarray}$ Somit haben wir: $\begin{eqnarray} 3log_{a}b-2log_{a}b+\frac{1}{2}log_{a}2+\frac{1}{2}log_{a}b^{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =3log_{a}b-2log_{a}b+\frac{1}{2}log_{a}2+4\cdot \frac{1}{2}log_{a}b \end{eqnarray}$ Aber wie komme ich dann auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}log_{a}2b^{6} \end{eqnarray}$ ? Ich komme da auf: $\begin{eqnarray} 3log_{a}b+\frac{1}{2}log_{a}2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{7}{2}log_{a}\frac{b}{2} \end{eqnarray}$
06.05.2011, 21:37	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 3. natürlich auch das beachten, was Du gerade unter 1. angewendet hast: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \cdot \log_a2+\frac{1}{2} \cdot \log_ab^4=\frac{1}{2} \cdot \log_a2+\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \log_a b \end{eqnarray}$ Edit: Sorry, ich sehe gerade, dass Du meinen Hinweis in der Rechnung ohnehin beachtet hast. Dann wäre das Ergebnis: $\begin{eqnarray} \log_ab^3\sqrt[2]{2} \end{eqnarray}$
06.05.2011, 23:46	epidrom	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Idee wäre noch, dass man die Regel mit den Faktoren vor den Logarithmen natürlich auch umkehren und diese als Potenzen schreben kann. $\begin{eqnarray} =log_{a}b^{3}-log_{a}b^{2}+log_{a}b^{\frac{1}{2}+4}+log_{a}2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =log_{a}b^{3}-log_{a}b^{2}+log_{a}b^{\frac{9}{2}}+log_{a}2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =log_{a}(\frac{b^{3}b^{\frac{9}{2}}2^\frac{1}{2}}{b^{2}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =log_{a}(b\cdot b^\frac{9}{2}\cdot 2^\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =log_{a}(2b^{1+\frac{9}{2}+\frac{1}{2}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =log_{a}2b^{6} \end{eqnarray}$ Aber dann fehlen immer noch die $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ vor dem Logarithmus.. EDIT: Habe gerade eben meinen Rechenfehler entdeckt, werde die korrigierte Version in Kürze posten!
06.05.2011, 23:52	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} =log_{a}b^{3}-log_{a}b^{2}+log_{a}b^{\frac{1}{2}+4}+log_{a}2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Das ist falsch. Warum addierst du die Potenzen im dritten Summanden? Es heißt hier 1/24 $\begin{eqnarray} =log_{a}b^{3}-log_{a}b^{2}+log_{a}b^{\frac{1}{2}4}+log_{a}2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Damit heben sich die beiden mittleren Summanden weg. Es bleiben die beiden Äußeren. $\begin{eqnarray} =log_{a}b^{3}+log_{a}2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Bei ersterem Summanden kannst du ja nun im Exponenten ein $\begin{eqnarray} \frac{2}{2} \end{eqnarray}$ hinzufügen. Dann kannste bei beiden $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ rausholen und hast das Endergebnis^^ Zu deinem Post davor: $\begin{eqnarray} 3log_{a}b+\frac{1}{2}log_{a}2 \end{eqnarray}$ Das ist richtig. Nur noch den oben genannten Trick anwenden und fertig. Dein letzter Umformungsschritt war falsch
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07.05.2011, 00:00	epidrom	Auf diesen Beitrag antworten »
So: $\begin{eqnarray} log_{a}(b^{\frac{1}{1}+\frac{9}{2}}\cdot 2^\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}log_{a}2b^\frac{11}{2} \end{eqnarray}$ Was mache ich denn falsch ? EDIT: Habe den Post von Equester zu spät gesehen, bitte bachtet diesen Post mit obigem Inhalt als nichtig
07.05.2011, 00:20	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Welchen Post meinst du jetzt . Dein jetztiger ist schon mal falsch
07.05.2011, 00:30	epidrom	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar jetzt hab ichs kapiert. [edit]:Einfach mal 2 im exponenten sodass der logarithmus nicht mehr so hässlich aussieht.Dadurch wird ja auch der logarithmus zu 1/2 da 21/2=1. Zumindest habe ich das so verstanden.[/edit] Aber wäre denn folgendes auch richtig?: $\begin{eqnarray} log_{a}b^{3}+log_{a}2^\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} log_{a}(2^{\frac{1}{2}}\cdot b^{3}) \end{eqnarray*}$ Also ich meine wenn man das hier jetzt einfach so stehen lassen würde.
07.05.2011, 00:31	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde beides gelten lassen, denk ich. Außer es wird in der Aufgabenstellung so verlangt. Der letzte Schritt zur Musterlösung halte ich auch nicht unbedingt für nötig. Der aber ist klar oder?
07.05.2011, 00:33	epidrom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja danke! Der ist mir jetzt klar siehe EDIT oben, hab meine antwort nachgebessert. ging nicht mehr davon aus dass du noch on bist ^^ Danke nochmal
07.05.2011, 00:34	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin nur noch wegen dir wach und warte schon ne halbe Stunde...^^ Dann ists ja recht, wenns verstanden ist (und das wachbleiben hat sich gelohnt) Gerne
07.05.2011, 00:36	epidrom	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann lass ich dich jetzt schlafen. Hast es dir redlich verdient. Auf euch ist aber auch wirklich IMMER verlass Dann wünsche ich dir mal eine Gute Nacht!
07.05.2011, 00:38	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich, wenn dus so siehst Yup, dann gehe ich mal. Auch dir ne gute Nacht

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