Kugel in räumlicher Parabel

05.05.2011, 18:57

DP1996

Kugel in räumlicher Parabel

Meine Frage:
Gegeben ist eine Normalparabel (also f(x)=x^2), die um die y-Achse rotiert. Dabei entsteht ein Gefäß. In dieses Gefäß lässt man eine Kugel hineinfallen mit dem Radius r. Die FRage ist nun: Bis zu welchem Kugelradius fällt sie bis ganz auf den Boden des Gefäßes, und auf welcher Höhe bleibt sie bei größerem Radius stecken?

Meine Ideen:
Da beide Körper (Gefäß und Kugel) rotationskörper um die y-Achse sind, lässt sich das Problem in der Ebene betrachten. Ansonsten hab ich überhaupt keinen Ansatz

05.05.2011, 19:05

Lampe16

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RE: Kugel in räumlicher Parabel

Zitat:

Original von DP1996
Meine Frage:
Bis zu welchem Kugelradius fällt sie bis ganz auf den Boden des Gefäßes?

Im Grenzfall ist der Radius der Kreisscheibe (Kugel-Durchmesserscheibe) gleich dem Krümmungsradius der Parabel in ihrem Scheitelpunkt.

05.05.2011, 19:16

DP1996

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Danke Lampe 16,
Eigentlich sollte sich jedoch die Aufgabe mit den in der Oberstufe des G8 zu verfügungstehenden Mitteln lösen lassen, krümmungsradien von Parabeln (wie im Wiki) gehören eigentlich nicht zu diesen (außer ich habe sie übersehen). Weiß noch jemand einen elementareren Lösungsweg?

05.05.2011, 20:00

Lampe16

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In den Wikis werden die Dinge oft komplizierter (allgemeiner) dargestellt, als für viele Aufgaben nötig.

Wenn die Kurve, wie hier die Parabel, in der Form
$\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$
vorliegt, erhält man den Krümmungradius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nach der Formel

$\begin{eqnarray*} R(x)=\frac{(1+f'^2(x))^{3/2}}{f''(x)}. \end{eqnarray*}$

Alles, was darin vorkommt, wird sicher auch heute noch in G8 behandelt. Damit kannst du es schaffen.

05.05.2011, 21:29

Lampe16

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Du kannst auch die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte der Kreisgleichung ( $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Verschiebung $\begin{eqnarray*} y_M \end{eqnarray*}$ , Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ) mit denen der Parabel gleichsetzen. Damit bekommst du ein Polynom 4. Grades ohne lineares und kubisches Glied mit den Parametern $\begin{eqnarray*} y_M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du über die Nullstellen-Lösungs-Koeffizienten so verfügen, dass das Polynom zwei doppelte reelle Nullstellen hat. Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} y_M=R^2+1/4 \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht ist das elementarer. Der Weg erledigt beide Aufgabenteile auf einmal.

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