Satz von Liouville

05.05.2011, 19:34

Gast11022013

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Satz von Liouville

Meine Frage:
Hallo,

weiß jemand, wo ich einen Beweis für den Satz von Liouville finden kann ("Jede auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ beschränkte und harmonische Funktion ist konstant.")?

Ich muss ihn nicht selbst beweisen, würde mich aber freuen, nebenbei einen Beweis zu sehen, möglichst einen, der die Mittelwerteigenschaft nutzt.

Meine Ideen:
...

05.05.2011, 19:47

Cel

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Hier findet sich einer. smile

smile

05.05.2011, 19:54

Gast11022013

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Den verstehe ich leider gar nicht.

geschockt

geschockt

05.05.2011, 20:38

BanachraumK_5

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Oder nimm den hier, habe selber einiges umformuliert:

Quelle: Introduction to Partial Differential Equations. Second Edition; Folland,
Princeton Univ Pr; 15. Oktober 1995.

Aus der Mittelwertformel ergibt sich $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r > \vert x \vert \end{eqnarray*}$ die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} \vert u(x) - u(0) \vert = \vert \frac{1}{w_n r^n} \int_{B_r(x)} u(z)\ dz - \frac{1}{w_n r^n} \int_{B_r(0)} u(z)\ dz \vert \le \frac{1}{w_n r^n} \Vert u \Vert_{\infty} \lambda(B_{\delta(r)}), \end{eqnarray*}$
wobei letzter Ausdruck das Lebesgue-Mass der symmetrischen Differenz der beiden anderen Bälle sei. Du musst jetzt nur noch zeigen, dass die rechte Seite gegen null strebt für $\begin{eqnarray*} r \rightarrow \infty. \end{eqnarray*}$

05.05.2011, 20:46

BanachraumK_5

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Zitat:

Wieso soll man $\begin{eqnarray*} |u(x)-u(0)| \end{eqnarray*}$ abschätzen

Gilt obige Aussage $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ so ist u konstant.

05.05.2011, 20:53

Gast11022013

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Ich glaube, dass was Du hier machst, geht viel mehr in die Richtung, die ich zeigen soll (Ich soll den Satz jetzt doch selbst beweisen, entschuldigung, ich habe die Aufgabe überlesen, wo das steht.)

Mein Hinweis ist folgender:

Sei u eine solche Funktion. Fixiere $\begin{eqnarray*} x\ in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} r=\Vert x\Vert \end{eqnarray*}$ .
Vergleichen Sie u(x) und u(0), indem Sie die Mittelwerteigenschaft von u für Kugeln $\begin{eqnarray*} K_R(x), K_R(0) \end{eqnarray*}$ mit (großem) Radius R ausnutzen.
Betrachten Sie dabei die Integrale von u über $\begin{eqnarray*} K_R(x)\backslash K_R(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_R(0)\backslash K_R(x) \end{eqnarray*}$ .
Nutzen Sie die Beschränktheit von u und (für R>r) die Inklusionen $\begin{eqnarray*} K_R(x)\backslash K_R(0)\subseteq K_R(x)\backslash K_{R-r}(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_R(0)\backslash K_R(x)\subseteq K_R(0)\backslash K_{R-r}(0) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} |u(x)-u(0)| \end{eqnarray*}$ abzuschätzen.

Ich erkenne da den Ansatz von Dir wieder.
Aber was es mit dem R (bzw. dem r) und den Inklusionen auf sich hat verstehe ich noch nicht.

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05.05.2011, 20:58

BanachraumK_5

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Zitat:

Ich erkenne da den Ansatz von Dir wieder. Aber was es mit dem R (bzw. dem r) und den Inklusionen auf sich hat verstehe ich noch nicht.

Naja da musst du dir einfach mal überlegen was das für den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \int_{B_r(0)} 1 \ dx - \int_{B_r(x)} 1 \ dx = \lambda(B_r(0)) - \lambda(B_r(x)) \end{eqnarray*}$

bedeutet und wie man diesen Ausdruck umschreibt.

Da musst du dir mal ein Bildchen von den Bällen malen.

05.05.2011, 21:05

Gast11022013

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Kannst Du mir vielleicht noch erklären, wie in Deinem Beweis, den Du gegeben hast, die Anleitung, die ich befolgen soll, drinsteckt? Ich erkenne das da nicht wieder.

Wo ist da das R?
Wo ist da z.B. ein Integral über $\begin{eqnarray*} K_R(x)\backslash K_R(0) \end{eqnarray*}$ ?

05.05.2011, 21:16

BanachraumK_5

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Da musst du nur diesen Ausdruck umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \vert u(x) - u(0) \vert = \vert \frac{1}{w_n r^n} \int_{B_r(x)} u(z)\ dz - \frac{1}{w_n r^n} \int_{B_r(0)} u(z)\ dz = ... \end{eqnarray*}$

Da musst du dir nur ein Bildchen malen!

05.05.2011, 21:21

Gast11022013

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Umschreiben?

Wie das? Ohje! geschockt

geschockt

Tut mir wirklich leid, ich werd nicht schlau draus.

05.05.2011, 21:53

BanachraumK_5

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Zitat:

Umschreiben?

$\begin{eqnarray*} \int_{B_r(0)}1 dx - \int_{B_r(x)}1 dx = \int_{B_r(0)\setminus B_r(x)}1 dx - \int_{B_r(x)\setminus B_r(0)}1 dx \end{eqnarray*}$

05.05.2011, 22:10

Gast11022013

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Ich glaube, mein Problem ist, dass ich die Anleitung nicht verstehe bzw. kein Bild malen kann.

06.05.2011, 09:24

Gast11022013

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Was ist denn überhaupt gemeint mit z.b. $\begin{eqnarray*} K_R(x)\backslash K_R(0) \end{eqnarray*}$ ?

Die Kugel um x mit Radius R ohne die Kugel um 0 mit Radius R?

Ich verstehe das bildlich nicht.
Schneiden die Kugelnb sich denn?.. oder wieso macht man das mit diesem "ohne"?

06.05.2011, 22:36

Gast11022013

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Nehmt es mir bitte nicht übel.
Aber ich möchte gerne nochmal ganz von vorne beginnen, damit ich diesen Beweis hinbekomme.

Schritt für Schritt.

Behauptung:
Jede auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ harmonische und beschränkte Funktion ist konstant.

Beweis:

1.) Sei u eine solche Funktion.
2.) Fixiere ein $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .
3.) Setze $\begin{eqnarray*} r=\Vert x\Vert \end{eqnarray*}$ .

Was ist jetzt (nach obiger Anleitung) der nächste Schritt?

$\begin{eqnarray*} |u(x)-u(0)|=... \end{eqnarray*}$

[Ab hier verstehe ich die Anleitung nämlich nicht mehr.]

07.05.2011, 00:39

Gast11022013

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RE: Satz von Liouville
Macht dieser Beweis - der anscheinend derselben Anleitung folgt - Sinn?

http://www.vorhilfe.de/read?i=791295

08.05.2011, 20:09

BanachraumK_5

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Zitat:

Macht dieser Beweis - der anscheinend derselben Anleitung folgt - Sinn? http://www.vorhilfe.de/read?i=791295

Das ist doch genau dieselber Idee wie bei meinem Beweis.

08.05.2011, 20:41

Gast11022013

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Das kann gut sein.

Dann habe ich das bloß nicht erkannt bzw. verstanden, wie Du es gemeint hast und in dem Link ists mir klarer geworden.

Stimmt denn das auch, was dort steht? [Ist der Beweis dort korrekt?]

08.05.2011, 20:59

BanachraumK_5

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Zitat:

Stimmt denn das auch, was dort steht? [Ist der Beweis dort korrekt?]

Das kannst du ja als Übung mal selber überprüfen.. ;-)

09.05.2011, 00:10

Gast11022013

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Ich frage das ja, weil ich mich auf meine Meinung da nicht so verlassen kann bzw. möchte. Für mich ist der Beweis so in Ordnung. Leider hat sich schon oft gezeigt, dass das gar nichts bedeuten muss...

[Es geht um wertvolle 4 Punkte für mein Punktekonto. Da hole ich doch lieber noch eine Experten-Meinung ein. Vertrauen ist gut, Kontrolle besser. Augenzwinkern

Augenzwinkern

]

10.05.2011, 00:47

BanachraumK_5

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Zitat:

Es geht um wertvolle 4 Punkte für mein Punktekonto. Da hole ich doch lieber noch eine Experten-Meinung ein. Vertrauen ist gut, Kontrolle besser.

Mag sein, aber die Übungsaufgaben sind schließlich auch dazu da Fehler zu machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.05.2011, 09:58

Gast11022013

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Na gut, dann gebe ich das jetzt so ab. Für mich scheint der Beweis in Ordnung zu sein.

Vielleicht werden es dann nicht 4 Punkte, aber vielleicht 2. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.05.2011, 17:15

tejubin

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Zitat:

Original von Dennis2010
Stimmt denn das auch, was dort steht? [Ist der Beweis dort korrekt?]

Also mir ist dort der Schritt von

$\begin{eqnarray*} |\int_{K_R(x)\backslash K_{R-r}(x)} u(y)dy - \int_{K_R(0)\backslash K_{R-r}(0)} u(y)dy|= \end{eqnarray*}$

zu:

$\begin{eqnarray*} = |\int_{K_r(x)} u(y)dy-\int_{K_r(0)} u(y)dy| \leq \end{eqnarray*}$

nicht klar, wie begründet der sich? Und wie begründet sich der Schritt zu:

$\begin{eqnarray*} \leq |\int_{K_r(x)\backslash K_r(0)} M dy| \end{eqnarray*}$

Habe mir ein Bild mit Zirkel gemalt und ein relativ großes R gewählt, da macht dann die Gleichsetzung von

$\begin{eqnarray*} \int_{K_R(x)\backslash K_{R-r}(x)} u(y)dy - \int_{K_R(0)\backslash K_{R-r}(0)} u(y)dy = |\int_{K_r(x)} u(y)dy-\int_{K_r(0)} u(y)dy| \end{eqnarray*}$

keinen Sinn. Oder er ist mir nicht wirklich klar.

11.05.2011, 18:07

tejubin

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Wenn man sich das verbildlicht, ist es ja so, dass

$\begin{eqnarray*} K_R(x)\backslash K_{R-r}(x) \end{eqnarray*}$

eine innere Kugel (Kreis auf dem Papier als Skizze) mit dem Radius $\begin{eqnarray*} R-r \end{eqnarray*}$ rausschneidet und man somit eine Schale der Kugel mit Dicke $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ erhält.

Somit verstehe ich nicht, warum dies dann gleich sein soll:

$\begin{eqnarray*} \int_{K_R(x)\backslash K_R-r(x)}u(y) dy = \int_{K_r(x)}u(y) dy \end{eqnarray*}$

LHS: Integral über Schale mit Dicke r
RHS: Integral über Kugel mit Radius r

11.05.2011, 19:44

Gast11022013

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Das sind auch die Stellen, über die ich stolpere.

Leider weiß ich darauf auch keine Antwort.

23.07.2011, 23:07

Gast11022013

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Ist schon länger her, aber ich möchte das gerne nochmal angehen!
Ich hoffe, ich finde noch Unterstützung nach der langen Zeit.
Ungelöste Aufgaben holen einen doch irgendwie immer wieder ein...
Man möchte sie lösen! Big Laugh

Big Laugh

Also nochmal zur Erinnerung, damit jetzt nicht jeder zig Seiten hochscrollen muss:

Man soll den Satz von Liouville zeigen, dass jede Funktion, die auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ harmonisch und beschränkt ist, konstant ist.

Und es war der folgende Hinweis vom Professor gegeben:

"Sei u eine solche Funktion. Fixiere $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und setze $\begin{eqnarray*} r=\Vert x \Vert \end{eqnarray*}$ . Vergleichen Sie $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u(0) \end{eqnarray*}$ , indem Sie die Mittelwerteigenschaft von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ für Kugeln $\begin{eqnarray*} K(x,R) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K(0,R) \end{eqnarray*}$ mit (großem) Raduis $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ausnutzen. Betrachte Sie dabei die Integrale von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K(x,R)\backslash K(0,R) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K(0,R)\backslash K(x,R) \end{eqnarray*}$ und nutzen Sie die Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und (für $\begin{eqnarray*} R>r \end{eqnarray*}$ ) die Inklusionen $\begin{eqnarray*} K(x,R)\backslash K(0,R)\subseteq K(x,R)\backslash K(x,R-r) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K(0,R)\backslash K(x,R)\subseteq K(0,R)\backslash K(0,R-r) \end{eqnarray*}$ , um $\begin{eqnarray*} \vert u(x)-u(0)\vert \end{eqnarray*}$ nach oben abzuschätzen."

Ich setze mal zur Vereinfachung der Schreibarbeit
$\begin{eqnarray*} \kappa:=\frac{1}{r^n\omega_n} \end{eqnarray*}$

Und dann:

$\begin{eqnarray*} \vert u(x)-u(0)\vert =\vert \kappa\int_{K(x,R)}u(z)dz-\kappa\int_{K(0,R)}u(z)dz\vert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\vert \kappa \int_{K(x,R)\backslash K(0,R)}u(z)dz-\kappa \int_{K(0,R)\backslash K(x,R)}u(z)dz\vert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \vert \kappa \int_{K(x,R)\backslash K(x,R-r)}u(z)dz-\kappa \int_{K(0,R)\backslash K(0,R-r)}u(z)dz\vert \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich nicht!

Kann jemand helfen? Danke! Wink

Wink

24.07.2011, 08:43

Wetal

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Lidong hats übrigens ziemlich gut im tutorium vorgerechnet.. nun ja, nutze erst mal, dass die fkt durch ein M beschränkt ist.

$\begin{eqnarray*} \vert \kappa \int_{K(x,R)\backslash K(x,R-r)}u(z)dz-\kappa \int_{K(0,R)\backslash K(0,R-r)}u(z)dz\vert \leq \frac{M}{vol_n(K_R)} \left| \int\limits_{K(x,R)\backslash K(x,R-r)} dz- \int\limits_{K(0,R)\backslash K(0,R-r)}dz \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2M}{vol_n(K_R)} \left( vol_n(K_R) - vol_n(K_{R-r}) \right) = 2M \left(1 - \frac{vol_n(K_{R-r})}{vol_n(K_R)} \right) \underbrace{\longrightarrow}_{R \rightarrow \infty } 0 \end{eqnarray*}$

24.07.2011, 11:28

Gast11022013

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Dankeschön!

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