Polynom

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Buggy Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom
Hallo Leute,

habe hier folgenden Aufgabe:

Sei der Körper mit p Elementen, wobei p eine Primzahl ist.

Ich soll ein Polynom angeben, mit .

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
1. Schritt.
Was bedeutet denn die an das Polynom gestellte Eigenschaft? Nimm dir vielleicht ein konkretes kleines p her und teste mal.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom
Zitat:
Original von Buggy
.


Was soll das heißen?

Buggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom
Zitat:
Original von Leopold
Was soll das heißen?



Jep, richtig smile

Sorry, kenn mich mit dem Formeleditor noch nicht so richtig aus.

Stimmt es eigentlich, dass ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom
Dann kannst du nun ja mal ans probieren gehen.

Zitat:
Original von Buggy
Stimmt es eigentlich, dass ?


Diese Notation entzieht sich mir. Vielleicht kennt Leopold sie.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom
Es ist eine etwas eigenwillige Schreibweise, aber wenn hier die Restklassen von 2 und 3 (jeweils modulo 2) gemeint sind, ist das letztendlich ja auch okay. Schließlich ist ja

und

Da hat man ja genau den Restklassenkörper, den man haben will.

Diese kurze Einmischung jetzt nur, weil Leopold wohl momentan nicht online ist. Bin dann auch wieder weg. Augenzwinkern
 
 
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau, ich habe die Restklassen gemeint, wir haben das bis jetzt immer so aufgeschrieben.


Also ich behaupte mal, dass für das hier eine Lösung ist:

q (x) = [2] x

Weil egal was ich hier für x einsetzte un dann modulo 2 rechne, kommt immer 0 raus.

Aber falls das hier überhaupt stimmen sollte. Was sagt das mir für ein allgemeines p?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Frage: Warum wählst du ausgerechnet diese Repräsentanten... verwirrt Und es sollte doch gerade nicht 0 rauskommen...
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe gerade nicht, was du meinst. Du hast doch gesagt ich soll mir ein p wählen, was ich ja auch gemacht habe.

Und ich habe gedacht aber , oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom
Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von Buggy
.


Was soll das heißen?



Daher hatte Leopold doch rückgefragt. Wir suchen ein Polynom, das keine Nullstelle in hat. Und klar kannst du p=2 wählen. Ich wundere mich nur über



Anstatt

Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Oh sorry, gleich zwei Missverständnisse.

Die Aufgabenstellung im ersten Beitrag war falsch, richtig ist die in meinem letzten Beitrag. Ich korrigier es gleich.

Ich dachte in Z selbst wären auch nur Primzahlen smile Deshalb habe ich [2] und [3]gewählt.


Edit: Kanns nicht mehr korrigieren wegen Zeitbeschränkung. Also nochmal: Richtig ist die Aufgabenstellung in meinem letzten Beitrag.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hehe. Teufel Dann such mal ein Polynom ungleich dem Nullpolynom, dass aber lauter Nullstellen hat. In diesem Fall kann man das Polynom mit der Polynomfunktion nicht identifizieren. Und wenn man in Nullstellen denkt und wie man Polynome mit ihnen schreiben kann, kommt man schnell auf die Lösung der Aufgabe ...

Also, hast du in F2 eine Idee?
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, wenn ich jezt schreibe

q (x) = [1] x^2 + [1] x

Wäre das richtig?

Dann müsste ich es ja nur noch irgendwie verallgemeinern, aber wie?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe da nicht, wo meine "Idee" berücksichtigt wurde. Die ist ja für die Verallgemeinerung wichtig.
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

In etwa so, oder ist das dann das Nullpolynom?

q (x) = (x + [1]) [0]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

So so nicht, aber nah dran.. Warum hast du [0] geschrieben? verwirrt
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Also einfach (x-[1]) ?

Kann ja eigentlich nicht sein.

Was wäre denn eigentlich [0] - [1] ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so doch nicht. Es sollten schon "x" drin vorkommen, damit man dann was einsetzen kann... Linearfaktorzerlegung... Klingelt da was?
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, manchmal sieht man echt den Wald vor lauter Bäumen nicht. In der Schule X mal schon gemacht.


Also hier einfach: q (x) = (x - [1] ) (x-[0]) = ( x - [1]) x


Wäre das allgemein dann

q (x) = (x - [p-1]) (x- [p-2]) .... (x- [0])

?

Kann man das so schreiben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Nun haben wir die Nullstelleneigenschaft erfüllt. Bleibt noch offen der Nachweis, dass da nicht das Nullpolynom steht.
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss gestehen, dass ich da vor einem Rätsel stehe.

Ich kann ja schlecht nachweisen, dass alle Elemente nicht gleich 0 sind?!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, muss man überhaupt nachweisen, dass alle ungleich 0 sind...
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Lass mich raten, nur das mit dem kleinsten Grad?

Wenn ja, wie zeigt man denn, dass x nicht gleich 0 ist?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte genau das Gegenteil gewählt, den größten Grad. Warum?
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine gute Frage.
Was ich auch nicht verstehe. Die haben doch alle den gleichen Grad. Es ändert sich doch nur die "Konstante".
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Wir haben entworfen:



Nun steht vor jedem x eine [1]. Es ist dann doch



und ... interessiert für die Frage Nullpolynom nun doch nicht mehr, da nur noch kleinere Potenzen von x folgen. Siehe:

Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Achso,

ich denke mal es ist unmöglich, dass x^p 0 ist (außer natürlich man setzt für x 0 ein, aber das is ja nicht gefragt hier, oder) , allein schon wegen den Potenzregeln.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll hier nichts eingesetzt werden. Die x verschwinden nur über ihre voranstehenden Skalare.
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich jetzt beweisen, dass x^p nicht gleich 0 ist?
Ist das nicht wie gesagt durch die Potenzgesetze bewiesen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch x^p ein Polynom ungleich des Nullpolynoms. Nur wenn da stehen würde [0]x^p, [p]x^p etc. würde es sich um das Nullpolynom handeln. Am besten du schläfst da mal drüber. Für x darf hier nichts eingesetzt werden.
Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das leuchtet ein, weil p^p mod p = 0.

Ist das dann schon der Beweis, oder muss ich jetzt noch was anderes schreiben, wie zum Beispiel 1^p mod p = 1, da p Primzahl und somit p >= 2 ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du hast es immer noch nicht verstanden. ist ein Polynom. Es ist nicht das Nullpolynom, denn das Nullpolynom hat als Koeffizienten lauter 0len. Somit ist auch unser q nicht das Nulpolynom. Es hat aber p Nullstellen und es ist q(a)=0 für alle a aus Z_p.

Das ist "neu" im Gegensatz zur Schule. Dort hat man Polynome aber auch nicht über endlichen Körpern betrachtet. Ebenso gab es keine Nullteiler. Daher fielen "Polynom" und "Polynomfunktion" zusammen.

Schau am besten noch mal deine Unterlagen durch.

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Buggy Auf diesen Beitrag antworten »

Werd ich machen.

Auf jeden Fall mal vielen Dank für die Hilfe. smile
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