Grenzwert einer Reihe

06.05.2011, 09:30

Icheben3

Grenzwert einer Reihe

Hallo

ich habe hier eine Aufgabe, bei der mir eine Reihe gegeben wird und der dazugrhörige Grenzwert und ich eben zeigen muss dass dieser Grenzwert richtig ist.

Sieht folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n+3}{n(n+1)(n+2)}=\frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

Ich habe schon verschiedene Dinge versucht. So habe ich zum Beispiel den Therm versucht als Fakultätet zu schreiben. Das sah dann so aus: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(n+3)(n-1)!}{(n+2)!}=\frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

und dann habe ich noch versucht die partialsumme zubilden. aber das ergebnis aus dass ich dann kam kann nicht sein

06.05.2011, 09:32

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe
Ich würde es mal mit einer Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray*} \frac{n+3}{n(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ versuchen.

06.05.2011, 09:59

Icheben3

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das meinte ich mit patialsumme :P hab mich verplappert

also da habe ich ein ergebnis raus dass nich sein kann. nämlich lauter brüche wo nur im nenner n steht...und diese würden ja divergieren

06.05.2011, 10:29

Manni Feinbein

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Bestimme erst mal die PBZ.

Setze dazu an mit:

$\begin{eqnarray*} \frac An+\frac B{n+1}+\frac C{n+2}=\frac{n+3}{n(n+1)(n+2)}. \end{eqnarray*}$

Die PBZ kannst Du dann weiter aufspalten, so dass drei Teleskopsummen entstehen.

Ziel der ganzen Rechnerei ist letzendlich folgende Darstellung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac{k+3}{k(k+1)(k+2)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac 1k-\frac 1{k+1}\right)+\sum_{k=1}^n\left(\frac 1{2k}-\frac 1{2(k+1)}\right)+\sum_{k=1}^n\left(\frac 1{2(k+2)}-\frac 1{2(k+1)}\right), \end{eqnarray*}$

an der sich der Grenzwert dann ganz einfach ablesen lässt.

06.05.2011, 10:59

Icheben3

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also wenn ich pbz anwende kommt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n+3}{n(n+1)(n+2)}\\= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n(n+1)(n+2)}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n(n+1)(n+2)}<br /> \\=\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)+\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{2n}-\frac{3}{n+1}+\frac{3}{2(n+2)}\right)<br /> \\=-2\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}+\frac12 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+2}+3\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

aber das bringt mich leider nicht aufs gewünschte ergebnis

06.05.2011, 11:13

klarsoweit

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Sowohl $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{2n}-\frac{3}{n+1}+\frac{3}{2(n+2)}\right) \end{eqnarray*}$ sind Teleskopsummen. smile

06.05.2011, 13:29

Icheben3

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okey dann hab ich wohl noch nicht ganz verstanden wie man mit diesen teleskopsummen umgeht.

kann mir das vielleicht jemand anhand dieses beispiels nahe bringen?

06.05.2011, 13:35

klarsoweit

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Nimm mal die erste Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) \end{eqnarray*}$ und schreibe mal die ersten 4 Summanden der Summe auf. Aber bitte nichts zusammenfassen.

06.05.2011, 14:39

Icheben3

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+1}-\frac{1}{1+2}+\frac{1}{2+1}-\frac{1}{2+2}+\frac{1}{3+1}-\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+1}-\frac{1}{4+2}...\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}... \end{eqnarray*}$

ah okey es hat geklingelt smile

aber bei der 2ten summe kann ich keine teleskopsumme entdecken da kommt ja sowas wie

$\begin{eqnarray*} \frac12-\frac12+\frac16+\frac14-\frac13+\frac18+\frac16-\frac14+\frac{1}{10}... \end{eqnarray*}$

raus

06.05.2011, 14:47

Elinnar

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Sitz genau an der gleichen Aufgabe und komm nicht weiter.
Bis zu dieser Partialbruchzerlegung bin ich auch.
Aber bei der 2.Summe kürzt sich nicht soviel weg...

06.05.2011, 14:54

klarsoweit

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Man macht folgende Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2n}-\frac{3}{n+1}+\frac{3}{2(n+2)} = \frac{3}{2n} - \frac{3}{2(n+1)} - \frac{3}{2(n+1)} + \frac{3}{2(n+2)} \end{eqnarray*}$

Dann betrachtet man die beiden ersten und die beiden letzten Ausdrücke.

06.05.2011, 16:53

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Elinnar
Sitz genau an der gleichen Aufgabe und komm nicht weiter...

Was irgendwie irritiert wo doch seit 10:29h schon eine Lösung dasteht, bei der ich sogar Skrupel hatte sie so zu Posten. unglücklich

06.05.2011, 16:57

Elinnar

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Zitat:

Original von Manni Feinbein
Was irgendwie irritiert wo doch seit 10:29h schon eine Lösung dasteht, bei der ich sogar Skrupel hatte sie so zu Posten. unglücklich

Diese Lösung zeigt aber nicht wikrlich, wie man auf die 5/4 kommen soll.
Habe inzwischen aber eine Lösung raus.

06.05.2011, 17:24

HAL 9000

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Man braucht übrigens nicht notwendig eine vollständige Partialbruchzerlegung, hier mal eine leicht andere Betrachtung (obwohl inhaltlich nicht wirklich verschieden):

Basierend auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} &=& \frac{1}{k} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+k)-n}{n(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}\\ &=& \frac{1}{k} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k-1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \right) = \frac{1}{k\cdot k!} \quad (*) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ kann man alle Summen vom Typ

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{P(n)}{n(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \end{eqnarray*}$

mit einem Polynom $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} \deg(P)\leq k-1 \end{eqnarray*}$ auf (*) zurückführen. Dazu muss man lediglich $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ im Polynom-Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[n] \end{eqnarray*}$ hinsichtlich der Basis

$\begin{eqnarray*} 1,\; (n+k),\; (n+k-1)(n+k),\; \ldots,\; (n+2)(n+3)\cdot\ldots\cdot(n+k) \end{eqnarray*}$

darstellen, dann kann man geeignet "kürzen".

Im obigen Beispiel mit $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(n) = n+3 = 1 + (n+2) \end{eqnarray*}$ ergibt das sofort

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n+3}{n(n+1)(n+2)} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)} + \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{2\cdot 2!} + \frac{1}{1\cdot 1!} = \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

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