rekursive Folge Definieren.

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Belz Auf diesen Beitrag antworten »
rekursive Folge Definieren.
Hallo und guten Abend.

Sei . Definieren Sie rekursiv eine Folge

mit folgenden Eigenschaften:



und





Geben Sie die Folge im Fall g=2 und x=1/3 explizit an (Dualzahldarstellung von 1/3).

Zumindest für den zweiten Teil der Aufgabe ist einsetzen erst einmal ein guter Anfang



Muss ich hier erst einmal Konvergenz nachweisen: Beschränktheit und Monotonie. Oder kann ich auch mit dem Satz von Leibniz etwas zur Aufgabe nützliches zeigen?

Also ich weiss nicht, wie ich eine rekursive Folge dafür aufstelle.

Ich würde jetzt mal sagen

muss 1/3 ergeben, genauso wie alle Folgeterme... obwohl, ne, kann ja gar nicht. Ich muss ja immer addieren...

Es wäre ganz schön, wenn mir jemand eine Anleitung ganz allgemein geben würde, was ich nachweisen muss, was ich umstellen soll...An der Rechnerei versuche ich mich gerne.

Vielen Dank!

Gruß,
Belz
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Auf den ersten Blick müsste 1 mit einer Intervallschachtelung funktionieren. a_n bezeichnet dann die Auswahl des a_n'ten Intervalls im n.ten Rekursionsschritt. Wenn du die Folge richtig konstruierst, wirst du x in allen so konstruierten Intervallen finden und nach dem Prinzip der Intervallschachtelung ist das dein Grenzwert. Ich kann das zur Not auch ausführen, muss aber erstmal ne ruhige Nacht schieben Augenzwinkern
Belz Auf diesen Beitrag antworten »

Mojn.

Das bringt mich leider nicht weiter. Also ich würde eine Intervallsverschachtelung so machen:











und

, also a = g-1



Da tauchen keine Xe auf. Also habe ich Unsinn gemacht unglücklich

Wie kann ich nun genau eine Intervallsverschachtelung machen?

Aber dennoch: Danke!

Alle Tipps sind willkommen.

Grüße von Belz
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist:



Daraus lässt sich sowohl als auch der gebrochene Anteil berechnen.

Rekursiv lassen sich analog die gesuchten Folgenglieder ermitteln.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text
Belz Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.



Und weiter gehts dann mit



??

Und daraus soll ich jetzt eine Formel basteln?

Also



a_2:



a_3:



Und daraus ergibt sich dann die rekursive Formel

Für n != 0


War das so gemeint?

Wie würde ich dann denn die Folge berechnen?

Ich hätte dann ja konkrete Werte für a_1, a_2 ...

Bis wie viele a_n müsste ich das dann aufschreiben? Bis Unendlich könnte ein bisschen schwer werden... Augenzwinkern

MfG Belz
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Belz
Und weiter gehts dann mit



Und daraus soll ich jetzt eine Formel basteln?


Ja. Du brauchst den ganzzahligen Anteil von und hast dann .

Mit der unteren Gaußklammer hast du etwa:



und



Grüße Abakus smile
 
 
Belz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das leider immer noch nicht.

Wieso soll es da einen Rest geben?

Und wie sieht das ganze für a_2 aus? So:



und



???

Aber dennoch vielen Dank für deine Bemühungen!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal hier für ein Beispiel. Das müsstest du versuchen allgemein zu formulieren.

Grüße Abakus smile
Belz Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Das hat mich jetzt wohl doch auf den falschen Weg gebracht.

Also wenn ich erst einmal a_1 und a_2 etc. detailliert aufschreibe









usw.

Na gut, wenn ich 10/3 teile, habe ich 3 Rest 1. Ok, das habe ich verstanden. Aber kann ich nicht einfach den Rest weglassen?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Belz


Nein, das hast du ja nicht: x ist die gesamte Summe (Laufindex i=1 bis Unendlich).


Zitat:
Na gut, wenn ich 10/3 teile, habe ich 3 Rest 1. Ok, das habe ich verstanden.


Hier ist x ja kleinergleich 1. Du könntest zB 0.1 ins Dreiersystem umwandeln (siehe auch obigen Link nochmal):

01. Multiplikation mit 3: 0.30, merke eine 0
02. Multiplikation mit 3: 0.90, merke eine 0
03. Multiplikation mit 3: 2.70, merke eine 2 (und ziehe 2 ab)
04. Multiplikation mit 3: 2.10, merke eine 2 (und ziehe 2 ab)
05. Multiplikation mit 3: 0.30, .... siehe oben

Also Ergebnis:

Du musst dir eine Formel überlegen, mit der du genau an das n-te Folgenglied der Folge kommst:

es ist

daher:



Von hier geht es dann mit der oben beschriebenen Idee weiter (du musst noch den "Rest" loswerden durch die Gaußklammer).

Grüße Abakus smile
Belz Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.



und




Ich kann mir das zusammenreimen, wie man darauf kommt. Aber den Algorithmus, um dann zu bestimmen, verstehe ich nicht. Deswegen kann ich auch nicht bestimmen



Wenn ich da jetzt n=" einsetze, komme ich ja auch nicht auf einen Wert für a_2

Dann hätte ich ja
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Belz


Wenn ich da jetzt n=" einsetze, komme ich ja auch nicht auf einen Wert für a_2

Dann hätte ich ja


Setz mal n:=2 ein:





Grüße Abakus smile
Belz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Setz mal n:=2 ein:







Wie kann denn g^0 oder a_2 sein?
Es ist doch die Summe von j=1 bis 1. Oder a index j. Wieso gibt es denn dann kein a_1? verwirrt

Aber sehr vielen Dank für deine Antworten...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal ausführlich, sei n:=2:





Grüße Abakus smile
Belz Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaaah, jetzt hats klack gemacht. Vielen Vielen Dank! Endlich habe ich es verstanden. Super!

Schöne Grüße Belz
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