Reihen, Formel herleiten

09.12.2006, 00:00

Belz

Reihen, Formel herleiten

Hallo zusammen.

Es gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (\sum^{\infty}_{n=0}x^n)' = \sum^{\infty}_{n=1}nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1-x})' = \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ (nur für eine andere Aufg. Relevant)

Leiten Sie mit dieser Information eine Formel her für

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1}nx^n, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$

Ich habe hier keine Ahnung, was überhaupt gemacht werden soll.

Soll ich jetzt diese Summe ableiten?

Das wäre doch einfach nur: n ist eine Konstante, also gilt als Ableitung

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1}n*nx^{n-1}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1}n^2x^{n-1}, \end{eqnarray*}$

Das ist aber nicht die Aufgabenstellung, oder?

Vielleicht kann man mir dabei ja helfen. Dankeschön smile

Grüße
Belz

09.12.2006, 00:07

Calvin

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RE: Reihen, Formel herleiten

Zitat:

Original von Belz
Soll ich jetzt diese Summe ableiten?

Nein, du sollst eine Formel finden, in die du nur noch x einsetzen musst, und den Wert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

Du sollst dabei die Info

Zitat:

Es gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (\sum^{\infty}_{n=0}x^n)' = \sum^{\infty}_{n=1}nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

verwenden. Als weiteren Tipp gebe ich dir das Stichwort "geometrische Reihe"

09.12.2006, 17:22

Belz

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Mojn.

Also das verstehe ich leider immer noch nicht.
Die geometrische Reihe hat ja die Form
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n = 1-\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$
Wobei in diesem Fall ist unser x^n ja kleiner 1!

Das heißt, man kanns auch weniger kompliziert machen, durch eine andere Formel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Nun habe ich da aber noch einen Vorfaktor n . Den kann ich da ja nicht einfach davor preschen.

Habe ich den Braten gerochen, indem ich quasi integriere?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} n* x^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Nun substituiere ich n-1 =: z

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{z} \end{eqnarray*}$

bleibt noch der Beginn der Summe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{z=1}^{\infty} x^{z} \end{eqnarray*}$

Sooo? smile

Wäre ja wahnsinnig stolz, wenn das so stimmen würde.

Ich mache mal weiter, mit der Formel

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

übertragen auf mein Beispiel.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{z=1}^{\infty} x^z=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Mein normaler Menschenverstand sagt mir, dass das aber nicht geht, da wir ja bei z=1 anfangen. Ich kann es aber auch nicht umändern, da ich ansonsten wieder im Exponenten von x etwas mit –1 habe :’(

Was sagt ihr dazu? Richtiges Vorgehen? Ansonsten: wie richtig machen?

Grüße von
Belz

09.12.2006, 19:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Belz
Die geometrische Reihe hat ja die Form
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n = 1-\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$

Also diese Variante der geometrischen Reihe ist wirklich mal was neues, aber trotzdem schlicht und ergreifend Murks.

Zitat:

Original von Belz
Das heißt, man kanns auch weniger kompliziert machen, durch eine andere Formel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Das sieht schon besser aus. Ersetze einfach das q durch x, leite dann nach x ab und wende die vorgebenen Informationen an.

09.12.2006, 20:00

Belz

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Guten Abend.

Also es geht ja jetzt um die Formel:

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1}nx^n, \end{eqnarray*}$

Und jetzt setze ich in die Formel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Für q das x ein

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Und das soll ich ableiten.

( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k)' = \sum^{\infty}_{k=1}k*x^{k-1} \end{eqnarray*}$

Hier auch:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1-x})' = \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Ok, das heisst also:

$\begin{eqnarray*} = \sum^{\infty}_{k=1}k*x^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Nur was genau ist jetzt bei meiner Anfangsformel mit dem n (bzw. mal als k angepasst): $\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{k=1}kx^k, \end{eqnarray*}$ ?

Das k hatte ich ja schon vorher drinne, deswegen hatte ich ja im vorherigen Beitrag so schön integriert. unglücklich

Wie geht’s denn jetzt weiter?

09.12.2006, 20:28

Calvin

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Du hast doch das Ergebnis schon. Du kannst jetzt für jedes |x|<1 den Reihenwert berechnen.

09.12.2006, 21:14

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~kx^k=x\cdot \sum_{k=1}^{\infty}~kx^{k-1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

10.12.2006, 13:30

Belz

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Huhu.

Mal ein anderes Beispiel.

Angenommen, ich hätte die selbe Aufgabenstellung

$\begin{eqnarray*} (\sum^{\infty}_{n=0}x^n)' = \sum^{\infty}_{n=1}nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1-x})' = \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

und ich soll eine Formel herleiten für

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{n}{x^n} \end{eqnarray*}$ .

mit |x|>1

Da kann ich die Formel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ doch gar nicht mehr benutzen?

Stattdessen muss ich dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n =\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$

benutzen, weil x^n >1?

Obwohl, Moment.

Ich kann doch die Formel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ benutzen, da \frac{1}{x^n} doch kleiner 1 ist. und das wäre dann eben mein q. Richtig?

Also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-\frac{1}{x^n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sum^{\infty}_{n=0}z^n)' = \sum^{\infty}_{n=1}nz^{n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt wäre mein z hier $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^n} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} (\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{x^n})' = \sum^{\infty}_{n=1}n\frac{1}{x^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Muss das n als Vorfaktor denn dann im Nenner stehen?

Nun substituiere ich wieder bei $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1-z})' = \frac{1}{(1-z)^2} \end{eqnarray*}$ und sage $\begin{eqnarray*} z:= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann die Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-z)^2} =\frac{1}{(1-\frac{1}{x})^2} \end{eqnarray*}$

Und dann ist mein Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1}n\frac{1}{x^{n-1}}=\frac{1}{(1-\frac{1}{x})^2} \end{eqnarray*}$

Ja?

Viele Grüße & Vielen lieben Dank,
Belz

10.12.2006, 15:54

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Belz
Stattdessen muss ich dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n =\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$

Wie dir weiter oben schonmal gesagt wurde, ist das vollkommen falsch! Korrekt ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Belz
[..]Also

$\begin{eqnarray*} (\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{x^n})' = \sum^{\infty}_{n=1}n\frac{1}{x^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Muss das n als Vorfaktor denn dann im Nenner stehen?

Nein natürlich nicht. Warum sollte es?

Zitat:

Original von Belz
Und dann ist mein Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1}n\frac{1}{x^{n-1}}=\frac{1}{(1-\frac{1}{x})^2} \end{eqnarray*}$

Ja?

Ja, aber du hättest auch gleich, da du ja vorher schon

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}nz^n=\frac{1}{(1-z)^2}\quad \text{für }|z|<1 \end{eqnarray*}$

hergeleitet hast, $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ einsetzen können.

Gruß MSS

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