Vollständige Induktion

06.05.2011, 16:31

andsta

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Man beweise mittles vollständiger Induktion, dass:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+...+\frac{1}{\sqrt n} \ge \sqrt n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Induktionsanfang:
n=2: $\begin{eqnarray*} 1+1/{\sqrt 2} = 1,71... >= {\sqrt 2} \end{eqnarray*}$
n=3: $\begin{eqnarray*} 1+1/{\sqrt 2}+1/{\sqrt 3} = 2,28... >= {\sqrt 3} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} } \geq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

n -> n+1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} } + \frac{1}{\sqrt{n+1} } \geq \sqrt{n+1} = \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1} } \geq \sqrt{n+1} = \frac{\sqrt{n} * \sqrt{n+1} +1 }{\sqrt{n+1} } \geq \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

genügt dieser Beweis?

06.05.2011, 17:01

chrizke

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} } + \frac{1}{\sqrt{n+1} } \geq \sqrt{n+1} = \end{eqnarray*}$

Das ist die erste Zeile deine Induktionsschrittes. Woher weißt du, dass die stimmt?
Und was machen diese "= Zeichen" da?

06.05.2011, 17:12

andsta

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von chrizke

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} } + \frac{1}{\sqrt{n+1} } \geq \sqrt{n+1} = \end{eqnarray*}$

Das ist die erste Zeile deine Induktionsschrittes. Woher weißt du, dass die stimmt?
Und was machen diese "= Zeichen" da?

die "=" Zeichen sind blödsinn ups Big Laugh

aber auf die erste zeile komme ich indem ich n->n+1 schließe und mit dem induktionsanfang hab ich ja gezeigt das es für n>= 2 stimmt nun schließe ich auf n+1

falls das vollkommener blödsinn ist.........
zeig mir bitte einen korrekten ansatz

06.05.2011, 17:27

chrizke

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Nur weil du es für n=2 gezeigt hast, muss das aber nicht automatisch für alle n>2 auch gelten. Das wollen wir ja erst noch beweisen.
Denn diese erste Zeile deines IS ist ja bereits die zu zeigende Aussage.

Die Idee am Anfang war an sich nicht schlecht, du hast die richtigen Schritte nur an der falschen Stelle gemacht.

Fang mal so an:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt k} +\frac{1}{\sqrt{n+1}} \stackrel{IV}\geq \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\geq \ldots \end{eqnarray*}$

Und da wo die "..." sind musst du nun weiter abschätzen, um irgendwann auf

$\begin{eqnarray*} \ldots\geq\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

zu kommen.

06.05.2011, 17:42

andsta

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dann fehlt eigentlich nur mehr der schritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n} * \sqrt{n+1} + 1}{\sqrt{n+1} } \geq \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$
????

06.05.2011, 17:46

chrizke

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Ja wenn du das gezeigt hast, bist du fertig.

06.05.2011, 17:49

andsta

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wenn man die korregierten schritte jetzt in meinen beweis mit den falschen ansatz ersetzt wäre es dann eine vollständiger beweis?
hab nämlich bald mathe prüfung.........darum die nervenden fragen

06.05.2011, 17:51

chrizke

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Ja schon, aber dafür musst du halt noch zeigen, dass das hier korrekt ist. Das ist ja nicht offensichtlich.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n} * \sqrt{n+1} + 1}{\sqrt{n+1} } \geq \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

06.05.2011, 18:00

andsta

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Zitat:

Original von chrizke
Ja schon, aber dafür musst du halt noch zeigen, dass das hier korrekt ist. Das ist ja nicht offensichtlich.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n} * \sqrt{n+1} + 1}{\sqrt{n+1} } \geq \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

ich hab einfach keine ahnung wie ich das elegant zeigen kann

http://www.wolframalpha.com/input/? i=%2.../> t%28n%2B1%29

%edit: schneidet irgendwie die url ab --> den ausdruck hab ich ins input-feld eingefügt:
((sqrt(n)*sqrt(n+1)+1)/sqrt(n+1)) >= sqrt(n+1)

hab auch in wolfram alfa die ungleichung eingegeben findet aber meiner meinung nix sinnvolles.

gibts da irgendeinen trick den du mir vielleicht zeigen kannst?

06.05.2011, 18:13

chrizke

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Ich würde das hier anders umformen:
$\begin{eqnarray*} \ldots\geq \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1}\cdot \underbrace{\frac{\sqrt{n}\sqrt{n+1}+1}{n+1}}_{(*)} \end{eqnarray*}$

So und was muss nun für (*) gelten, damit die Behauptung

$\begin{eqnarray*} \ldots\geq\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

gilt?

06.05.2011, 21:50

andsta

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(*) muss >= 1 sein

danke für die rasche hilfe Augenzwinkern

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