Integral einer gebrochenrationalen Funktion

06.05.2011, 17:04	oink_sproink	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral einer gebrochenrationalen Funktion Hallo liebes Forum, ich melde mich mal wieder mit einer für mich momentan irgendwie unlösbaren Aufgabe an Euch. Da ich nächsten Dienstag mein Abitur in mathe ablegen werde, bin ich auf dieses Integral gestoßen: Anzumerken sei aber vorher noch, dass das Buch, aus dem ich diese Aufgabe entnommen habe, einen CAS-Taschenrechner als Hilfe vorgibt, den ich nicht besitze! $\begin{eqnarray} \int_0^{130} \! \frac{120(x-120)^2}{(x-120)^2+7200}+10 \, dx \end{eqnarray*}$ Mein einziger Ansatz ist hier die Substitutionsmehtode, aber was soll ich substituieren, damit ich hinterher auf eine vernünftige Aufleitung komme? Mir fehlt da irgendwie der Ansatz Kann man die Aufgabe überhaupt zu Fuß ausrechnen? Ich hoffe mir kann jemand helfen und verbleibe schon einmal dankbar mit freundlichem Gruß oink_sproink
06.05.2011, 21:42	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral einer gebrochenrationalen Funktion Das kann man auch von Hand lösen, ja. Höchstens am Ende, wenn man die Grenzen einsetzen (und dann gegebenenfalls das Ergebnis runden) will, braucht man wohl auf den ersten Blick einen Taschenrechner. Das Integral prinziell zu lösen ist aber gar nicht so schwer. Ich lasse jetzt mal die Grenzen erstmal weg und die +10 am Ende sowieso, die stören ja nicht. Den Vorfaktor 120 kann man vor das Integral ziehen. Bleibt dieser Teil, der dir wohl Schwierigkeiten macht: $\begin{eqnarray} \int \frac{(x-120)^2}{(x-120)^2+7200} \, \dx \end{eqnarray}$ Das kann man etwas umschreiben (indem man eine Null im Zähler addiert): $\begin{eqnarray} \int \frac{(x-120)^2}{(x-120)^2+7200} \, \dx = \int \frac{(x-120)^2+7200-7200}{(x-120)^2+7200} \, \dx = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \left ( \frac{(x-120)^2+7200}{(x-120)^2+7200} - \frac{7200}{(x-120)^2+7200} \right ) \, \dx = \int \left ( 1 - \frac{7200}{(x-120)^2+7200} \right ) \, \dx \end{eqnarray}$ Letztlich ist das eine Polynomdivision, die da durchgeführt wurde. Das letzte Integral kannst du nun wieder aufteilen. Bleibt noch der letzte Bruch. Das wird nach einer passenden linearen Substitution auf den Arkustangens hinaus laufen. Siehe dazu hier. Erstmal würde ich aber kürzen. Für Schulmathematik ist das schon etwas anspruchsvoller, wenn man es von Hand lösen will. Kleiner Hinweis zur Kosmetik: $\begin{eqnarray} \sqrt{7200} = 60 \sqrt{2} \end{eqnarray}$

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