lokal integrierbar

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
lokal integrierbar
Meine Frage:
Zeigen Sie: Das Newton Potenzial (Fundamentallösung des Laplaceschen Operators) ist lokal integrierbar, aber nicht integrierbar.

Zur Erinnerung:



wenn , wobei



, wenn



Meine Ideen:
Ich kenne zwei Charakterisierungen für "lokal integrierbar":

(1) Eine meßbare Funktion heißt lokal integrierbar, falls jeder Punkt eine offene Umgebung U hat, sodass f über U integrierbar ist.

Äquivalent dazu ist:

f ist über jede kompakte Teilmenge integrierbar.


Wie kann ich jetzt den Beweis führen?

Edit

Meine Idee wäre es, (1) in Verbindung mit der Mittelwerteigenschaft für harmonische Funktionen zu nutzen:

Meßbar ist N, da N stetig ist (Zähler und Nenner sind stetig).
Und jetzt kann man doch die Mittelwertseigenschaft nutzen, die ja für alle Kugeln (also wohl auch für offene Kugeln?) gilt:
N ist harmonische Funktion, also gibts um jedes x eine offene Kugel mit Radius r>0 und es gilt:

[Oder?]

Dieser Ausdruck ist meines Erachtens kleiner unendlich und also auch das Integral da nach dem ersten Gleichheitszeichen über die Kugel.

Ist deswegen nicht N über die offene Kugel integrierbar, also N lokal-integrierbar nach (1)?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Was ist dieses f? Und wo wird gezeigt, dass das Integral endlich ist?

Sei K eine kompakte Teilmenge, welche die 0 nicht enthält. Was gilt für das Mass der Menge. Benutze, dass f stetig ist und somit auf K... Schätze geeignet ab um die endlichkeit des Integrales

nachzuweisen.

Dass dieses nicht überall integrierbar ist rechnest du explizit nach. Wir hatten ja shconmal Zwiebelformeln oder wie das hiess besprochen. Lässt sich doch wunderbar anwenden um anschliessend eben im Grenzfall die integrierbarkeit zu untersuchen.

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sergej88
Hallo,

Was ist dieses f? Und wo wird gezeigt, dass das Integral endlich ist?

Das sollte N(x) und nicht f(x) heißen.
Dass das Integral endlich ist, habe ich nicht richtig gezeigt.

Zitat:

Sei K eine kompakte Teilmenge, welche die 0 nicht enthält. Was gilt für das Mass der Menge. Benutze, dass f stetig ist und somit auf K... Schätze geeignet ab um die endlichkeit des Integrales

nachzuweisen.


1. Frage: Wieso soll die 0 nicht enthalten sein? Was ist, wenn man ein Kompaktum nimmt, das die 0 enthält? (Denn man muss es ja für ALLE Kompaktums zeigen.)
2. Frage: Die Funktion N(x) ist stetig und das bedeutet doch, dass N(x) auf dem Kompaktum ein Maximum annimmt.
Wie man abschätzen kann, weiß ich noch nicht so genau.

Zitat:

Dass dieses nicht überall integrierbar ist rechnest du explizit nach. Wir hatten ja shconmal Zwiebelformeln oder wie das hiess besprochen. Lässt sich doch wunderbar anwenden um anschliessend eben im Grenzfall die integrierbarkeit zu untersuchen.


An die Zwiebelformel erinnere ich mich.
Man nimmt also an, dass N(x) inbtegrierbar sei (denn für die Zwiebelformel ist das ja Voraussetzung). Und dann zeigt man, dass das nicht sein kann?


Ich muss erst ein bisschen rumprobieren, poste meine Ideen dann.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Man nimmt also an, dass N(x) inbtegrierbar sei (denn für die Zwiebelformel ist das ja Voraussetzung). Und dann zeigt man, dass das nicht sein kann?


ok eine Gegenannahme hatte ich zwar nicht im Sinn sollte aber dennoch funktionieren. Läuft schlussneldich auf dasselbe hinnaus.

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du vllt. noch meine andere Frage beantworten?

Wieso soll die Null nicht in dem Kompaktum liegen?
Was ist mit den Kompaktums, die 0 enthalten?

Ich denke, die muss man auch berücksichtigen - oder?
[N ist ja dann lokal integrierbar, wenn das für JEDES Kompaktum gilt.]
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kann K auch die 0 enthalten, aber das dachte ich, untersuchen wir lieber gesondert. Ich meine bei 0 ist eine Singularität die Probleme machen könnte....
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann erstmal nur der Fall, dass man über ein Kompaktum K integriert, das die 0 nicht enthält.

Also:

1. Fall: n=2

,

denn die Funktion ist stetig und nimmt daher auf dem Kompaktum ein Maximum M an.

Reicht das so? Oder muss man irgendwie spezieller noch abschätzen?

[Den Fall 2 lasse ich erstmal noch weg.]
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

für integrierbarkeit brauchst du den Betrag der Funktion oder nicht? ICh meine der Logarithmus kann auch negativ werden.
der Vollständigkeit halber wäre noch zu begründen wieso

gilt. Ansonsten wollte ich genau darauf hinaus.

mfg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sergej88
für integrierbarkeit brauchst du den Betrag der Funktion oder nicht? ICh meine der Logarithmus kann auch negativ werden.


Achja, stimmt. Also für den 1. Fall, dass n=2:



Zitat:
Original von sergej88
der Vollständigkeit halber wäre noch zu begründen wieso

gilt. Ansonsten wollte ich genau darauf hinaus.


Naja, wie kann man das begründen...
M ist eine Konstante, kann man also vors Integral ziehen und




Nun zum 2. Fall, also :

Analog?




So kurz?..



Edit:

Wenn das bis hierhin okay ist, bleiben (leider) immer noch zwei Dinge zu zeigen:

1.) N ist nicht integrierbar.
2.) N ist lokal integrierbar auch für Kompaktum, die die 0 enthalten.


Zu 1.) hast Du den Hinweis gegeben, dass man die Zwiebelformel nehmen kann.

Ich versuche das mal wieder für den Fall, dass n=2:

Anwenden der "Zwiebelformel":













, da

Wenn man sich nun für dieses Resultat den Betrag anschaut, ergibt sich, dass




Damit müsste, wenn ich korrekt liege, gezeigt sein, dass N nicht integrierbar ist (im Fall n=2).

Bleibt noch der Fall zu untersuchen. Auch das habe ich wieder mit der "Zwiebelformel" getan:



















Auch hier betrachtet man wieder den Betrag und stellt fest:



Das bedeutet, dass N auch im Fall nicht integrierbar ist.



Ich freue mich auf Reaktionen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal eine Frage hierzu, wenns auch etwas her ist.

Den Fall, dass man über ein Kompaktum integriert, das 0 enthält, muss man doch gar nicht betrachten, da N doch definiert ist als:



Sehe ich das richtig?


Oder bedeutet "lokal integrierbar", daß die Funktion dann auch über einem solchen Kompaktum integrierbar ist, das die (laut Definition der Funktion ausgeschlossenen) Singularitäten miteinschließt? Würde ja irgendwie keinen Sinn machen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Siehst du richtig, das Kompaktum muss eine Teilmenge des R^n\0 sein, und darauf ist N stetig.

Und den Beweis kannst du auch allgemein für stetiges f führen, deswegen ist das so einfach. (Jedes stetige f ist also lokal-integrierbar).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank!

Dann dürfte die Aufgabe komplett sein.

Wink
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