Vollständige Induktion mit Matrizen

06.05.2011, 16:38

stud3nt

Vollständige Induktion mit Matrizen

Hallo,

ich habe ein Problem mit einer Matrix. Komme ienfach nicht weiter. Ich muss folgendes mit vollständiger Induktion beweisen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} \frac{3^{n} + 1 }{2} \frac{3^{n} - 1 }{2} \\ \frac{3^{n} - 1 }{2} \frac{3^{n} + 1 }{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich 1 eingesetzt: Passt.
Als nächsten Schritt habe ich den Schritt hier gemacht:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{3^{n} + 1 }{2} \frac{3^{n} - 1 }{2} \\ \frac{3^{n} - 1 }{2} \frac{3^{n} + 1 }{2}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3^{n + 1} + 1 }{2} \frac{3^{n + 1} - 1 }{2} \\ \frac{3^{n + 1} - 1 }{2} \frac{3^{n + 1} + 1 }{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und habe versucht das zu Multiplizieren, aber das funktioniert nicht.
Was mache ich falsch?
Ist mein Vorgehen bis hier richtig?

06.05.2011, 16:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von stud3nt
Als nächsten Schritt habe ich den Schritt hier gemacht:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{3^{n} + 1 }{2} \frac{3^{n} - 1 }{2} \\ \frac{3^{n} - 1 }{2} \frac{3^{n} + 1 }{2}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3^{n + 1} + 1 }{2} \frac{3^{n + 1} - 1 }{2} \\ \frac{3^{n + 1} - 1 }{2} \frac{3^{n + 1} + 1 }{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist da, was nachzuweisen ist, ja.

Zitat:

Original von stud3nt
Und habe versucht das zu Multiplizieren, aber das funktioniert nicht.
Was mache ich falsch?

Hier kann keiner hellsehen: Du sagst nur, dass du das machen willst, zeigst aber keine Rechenschritte. Bisher ist kein Fehler erkennbar.

06.05.2011, 16:47

stud3nt

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bisher kein Fehler erkennbar! Rock

OK! Wenn ich dann die Matrixmultiplikation durchführe komme ich auf andere Werte.
Ich versuche es mal mit dem Formeleditor hinzukriegen smile

06.05.2011, 17:11

stud3nt

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$\begin{eqnarray*} \frac{(2*3^{n} + 1) }{2} + \frac{(1*3^{n} + 1) }{2} \end{eqnarray*}$
So das ist das erste Element der Multiplikation der MAtrizen auf der linken Seite.

Ich komme aber nicht auf dasselbe wie rechts!
Darin liegt mein Problem!

06.05.2011, 17:16

HAL 9000

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Nein, ist es nicht. Das erste Element (also Position (1,1)) ist

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{(3^{n} + 1) }{2} + 1\cdot \frac{(3^{n} -1) }{2} \end{eqnarray*}$ .

06.05.2011, 17:30

stud3nt

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OK. Das Vorzeichen sollte beim Zweiten Bruch natürlich MINUS sein!

@HAL Aber irgendwie bringt mich das nun auch nicht wirklich weiter.
Kürzen würde nix bringen. Und addieren kann ich auch nicht verwirrt

06.05.2011, 17:42

HAL 9000

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Einfach auf einen Bruch bringen:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{(3^{n} + 1) }{2} + 1\cdot \frac{(3^{n} -1) }{2} = \frac{2\cdot (3^{n} + 1)+1\cdot (3^{n} -1) }{2} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt die Klammern auflösen.

06.05.2011, 17:51

stud3nt

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SO weit war ich auch schon. Das war der Punkt an dem ich nicht mehr weitergekommen bin.
Aber jetzt glaub ich hab ich es: Ich kann das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} (3^n + 1) \end{eqnarray*}$ rausziehen!
also $\begin{eqnarray*} (3 + 1)^n \end{eqnarray*}$ und dann kann ich ENDLICH die Klammer auflösen!

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