Aufgaben Mengenlehre

06.05.2011, 19:09

Cheftheoretiker

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Aufgaben Mengenlehre

Hallo,

folgende Aufgabe habe ich,

Bestimmen Sie alle Teilmengen mit höchstens zwei Elementen der Menge von Buchstaben des Alphabets $\begin{eqnarray*} M=\{b,l,a,u\} \end{eqnarray*}$

Ich dachte mir dazu,

$\begin{eqnarray*} A=\{b,l\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\{a,u\} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt? verwirrt

verwirrt

06.05.2011, 19:25

Roman Oira-Oira

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RE: Aufgaben Mengenlehre
Und was ist mit z.B. $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{a, b\} \end{eqnarray*}$ und anderen höchstens zweielementigen Teilmengen? Und eine ganz besondere Teilmenge fehlt auch noch!

06.05.2011, 19:27

Cheftheoretiker

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RE: Aufgaben Mengenlehre
Okay, hast recht.

$\begin{eqnarray*} C=\{b,a\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=\{l,u\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E=\{b,u\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F=\{a,l\} \end{eqnarray*}$

Das wären doch alle mit zwei Elementen? verwirrt

verwirrt

06.05.2011, 19:38

Roman Oira-Oira

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RE: Aufgaben Mengenlehre
Nein, A, B,C und D sind (erstens) nicht alle zweielementigen Teilmengen! Das hat ja fast schon nichts mehr Mengenlehre zu tun. Das ist ja schon eine Frage der Kombinatorik!

Und (zweitens) ist nicht nach den nur zweielementigen, sondern nach den höchstens zweielementigen Teilmengen gefragt (siehe Deine Fragestellung!).

06.05.2011, 19:40

BRQ

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Was ist mit $\begin{eqnarray*} \left\{ b,u\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{ l,a\right\} \end{eqnarray*}$ ,die auch zu den genau 2-elementigen Teilmengen gehören?

06.05.2011, 19:41

Cheftheoretiker

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RE: Aufgaben Mengenlehre
Okay, stimmt. Dann zählen natürlich auch noch andere dazu.

$\begin{eqnarray*} G=\{b\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H=\{l\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=\{a\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J=\{u\} \end{eqnarray*}$

und die leere Menge? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} K=\{\} \end{eqnarray*}$

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06.05.2011, 19:50

Roman Oira-Oira

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RE: Aufgaben Mengenlehre
Die lere Menge auch - korrekt!

06.05.2011, 19:51

guestt

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Ja, die leere Menge zählt auch dazu!!

06.05.2011, 19:57

Cheftheoretiker

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Okay, nächste.

Bestimmen Sie alle Teilmengen mit genau 4 Elementen der Menge $\begin{eqnarray*} M=\{1,2,3,4,5\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\{2,3,4,5\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C=\{1,3,4,5\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=\{1,2,4,5\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E=\{1,2,3,5\} \end{eqnarray*}$

Gibt es dort noch eine Möglichkeit? verwirrt

verwirrt

06.05.2011, 20:01

Roman Oira-Oira

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Wer möchte denn hier noch alles mitspielenund redundante Beiträge posten?

@BRQ und @guestt

Es ist nicht üblich und auch überflüssig, wenn sich hier x verschiedene Personen mit Antworten melden! Zusätzliche Beiträge können dann gepostet werden, wenn der erste Helfer erkennbaren Unsinn schreibt oder nicht weiterweiss!

Übrigens: Die Überschneidung von Beiträgen kann vermieden werden, wenn man die Vorschau nutzt bevor man den eigenen Beitrag postet!

06.05.2011, 20:11

Roman Oira-Oira

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Sieht korrekt aus!

Bevor Du jetzt noch diverse Kombinationen ausprobieren willst, empfehle ich Dir mal die folgende Seite zu lesen: Wiki - Abzählende Kombinatorik.

Dort findest Du diverse Formeln die dir die Anzahl verschiedener Möglichkeiten liefern, damit Du weißt, ob Du alle Möglichkeiten erfasst hast.

06.05.2011, 20:21

Cheftheoretiker

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Okay, soweit wollte ich eigentlich nicht gehen. Solange ich das Prinzip verstanden habe, reicht mir das eigentlich schon.

Bestimmen Sie alle Teilmengen der Menge $\begin{eqnarray*} A=\left\{\frac{1}{2},2,\frac{9}{4},4,25\right\} \end{eqnarray*}$ die kein Element der Menge $\begin{eqnarray*} C=\{4,25\} \end{eqnarray*}$ enthalten.

$\begin{eqnarray*} B=\left\{\frac{1}{2},2,\frac{9}{4}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C=\left\{\frac{1}{2},2\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=\left\{\frac{1}{2},\frac{9}{4}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E=\left\{\frac{9}{4},2\right\} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} F=\{\} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

06.05.2011, 21:09

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von hangman
Okay, soweit wollte ich eigentlich nicht gehen. Solange ich das Prinzip verstanden habe, reicht mir das eigentlich schon.

Du bist vielleicht ein Scherzkeks! Den Link habe ich nicht ohne Eigennutz aufgeschrieben. Du solltest die Formeln der Kombinatorik nutzen, um deine eigenen Ergebnisse zu überprüfen - zumindest der Anzahl nach. Stimmt diese, so erübrigt sich die Nachfrage, wenn keine doppelten Lösungen bzw. Lösungen mit falschen Elementen dabei sind.

Für die vorherige Aufgabe wäre die folgende Formel für "Kombinationen ohne Zurücklegen" passend gewesen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ .

Für eine 5-elementige Menge und 4-elementige Teilmengen also: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{120}{24} = 5 \end{eqnarray*}$ .

Du hattest 5 Teilmengen aufgeschrieben, also war dein Ergebnis richtig!

Jetzt zur neuen Aufgabe. Betrachte doch einfach die 3-elementige Menge $\begin{eqnarray*} A - \{4, 25\} = \{\frac{1}{2}, 2, \frac{9}{4}\} \end{eqnarray*}$ .

Wieviele Teilmengen (incl. der leeren Menge und der Menge selbst) kann man bilden? Vergleiche diese Anzahl mit den von dir gelieferten Mengen!

Für die Anzahl aller Teilmengen einer Menge gibt's in derMengenlehre eine eigene Formel. Kennst Du diese?

06.05.2011, 21:11

Cheftheoretiker

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Zitat:

Für die Anzahl aller Teilmengen einer Menge gibt's in derMengenlehre eine eigene Formel. Kennst Du diese?

Nein

verwirrt

06.05.2011, 21:17

Cheftheoretiker

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Ich sehe gerade es kommt natürlich noch dazu,

$\begin{eqnarray*} G=\{\frac{1}{2}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H=\{2\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=\{\frac{9}{4}\} \end{eqnarray*}$

06.05.2011, 21:23

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von hangman

Zitat:

Für die Anzahl aller Teilmengen einer Menge gibt's in derMengenlehre eine eigene Formel. Kennst Du diese?

Nein

verwirrt

Die Formel ist ganz simpel: Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge = $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ . Warum?

Für die 3-elementige Menge, die wir zuletzt betrachtet haben also $\begin{eqnarray*} 2^3 = 8 \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt hast Du ja jetzt 8 Teilmengen ohne die beiden genannten Elemente angegeben - also stimmt dein Ergebnis!

Solltest Du noch mehr Ergebnisse zur Überprüfung posten wollen, so überprüfe diese doch ab jetzt zuvor selber anhand solcher Überlegungen und Formeln.

Verständnisfragen sind natürlich weiterhin willkommen!

06.05.2011, 21:50

Cheftheoretiker

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Okay, ich sage schonmal bis hierhin danke. Ich werde für meine nächste Frage einen neuen Thread eröffnen! smile

smile

07.05.2011, 17:37

Roman Oira-Oira

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Hallo hangman!

Bevor du hier aus diesem Thread verschwindest, würde mich jetzt doch noch interessieren, ob du die Formel für die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ begriffen hast bzw. eine Vorstellung davon hast, warum diese gilt (oder auch, wie man diese beweisen könnte).

Diese Formel ist bei aller Einfachheit doch ziemlich grundlegend in der Mengenlehre.

Gruß Roman

07.05.2011, 18:34

Cheftheoretiker

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Ich denke schon, $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ kann jedes Element beschreiben.

$\begin{eqnarray*} 2^0=1 \end{eqnarray*}$ Element
$\begin{eqnarray*} 2^1=2 \end{eqnarray*}$ Elemente usw...

07.05.2011, 19:03

Roman Oira-Oira

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Ich gehe mal davon aus, daß du das Richtige meinst ...

Zum Abschluß noch von mir:

Das diese Formel für alle n-elementigen Mengen gilt, kann per Vollständiger Induktion bewiesen werden.

Das die Formel für die leere Menge, 1-elementige Mengen, 2-elementige Mengen gilt, kann man sich ja sehr leicht klarmachen, indem man diese Mengen als Beispiele nimmt und alle Teilmengen bildet. Man sieht dann direkt, daß die Anzahl der Teilmengen mit der Formel übereinstimmt.

Gleichzeitig ist dies auch schon die Induktionsverankerung für die Vollständige Induktion.

Nun geht man aus von der Induktionsvoraussetzung, daß n-elementige Mengen genau $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ verschiedene Teilmengen haben.

Der Induktionsschluß von n auf (n+1) ist dann ganz einfach ...

Kannst du ja mal in einer Mußestunde versuchen und posten bzw. mir per pn senden.

Gruß Roman

17.11.2011, 20:46

Mathods

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Beispielaufgaben zu Mengenlehre
Hallo,

ich bin leider noch nicht firm genug in Mengenlehrre um vernünftig zu antworten - habe aber einen Tip wo es gute ausführliche Beispiele zu diesem Thema gibt.

mathods com --> Logig & Mengen

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