Beschränkte Lösungen von DGLs

06.05.2011, 21:35	Miriam91	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränkte Lösungen von DGLs Meine Frage: Hallo Gemeinde,ich verzweifel an folgender Aufgabe: Sei f:R^2 --> R stetig mit f(t,1) = f(t,-1) = 0 für alle t aus R. Wir nehmen zusätlich an, dass f bzgl. der zweiten Variable lokal Lipschitz stetig ist. Zeigen Sie, dass dann für alle x0 aus [-1,1] = 0 die zugehörige Lösung des Anfangswertproblems x' = f(t,x), x(0) = x0 beschränkt ist. Folgern Sie daraus,dass in diesem Fall das maximale Existenzintervallder Lösung ganz R ist. Ich bedanke mich im Vorraus! Meine Ideen: Ich habe die Definition der Lipschitz Stetigkeit: \|f(y)-f(x)\| <= L * \|y-x\| und den Satz, dass die Lösungen bei Lipschitz-Stetigkeit in 2. Variable eindeutig sind. Leider weiß ich nicht wie ich ansetzen soll..
07.05.2011, 21:13	Miriam91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, scheint wohl nicht nur für mich zu schwer zu sein... =(
07.05.2011, 21:39	Gast200	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Vielleicht denkst du mal nach, wozu f(t,1)=f(t,-1)=0 für alle t gefordert wird und wieso x0 gerade aus dem Kompaktum kommt. (und nicht x0=2 z.b. sein darf). Was könnte man als Schranke wählen? Stetigkeit und Lipschitzstetigkeit sind zwar wichtige, aber keine sehr spannenden Bedingungen. (Sonst existiert die Lösung womöglich nicht.) Gruß
07.05.2011, 23:18	Miriam91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich denke x0 kommt gerade aus dem Kompaktum, da die Funktion dort entweder 0 oder nicht monoton ist, außerhalb des Kompaktums lässt sich das nicht sagen. Was das mit dem t auf sich hat weiß ich leider nicht... Doch wie komm ich dadurch auf eine Lösung?
08.05.2011, 00:28	Gast200	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein paar Denkanstöße: Was bedeutet f(t,1)=0 (für alle t) z.b. für x(t)? Wie sieht die Lösung für x(0)=+-1 (also für Ränder des Kompaktums) aus? Gruß
08.05.2011, 10:57	Miriam91	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe, aber ich blick da nicht durch.. Ich würde sagen dass die Funktion f(t,1) gegeben ist duch: f= ... * (x+1)*(x-1) sodass sie für alle t immer gleich 0 ist an den Stellen 1 und -1. Doch was sagt mir dass denn für die Lösungen? Da kann doch immer noch alles mögliche mit t drin vorkommen...
Anzeige

08.05.2011, 12:51	Miriam91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also f(t,1)=f(t,-1)=0 heißt dann wohl, dass für x=1 bzw. x=-1 immer x' = 0 ist, d.h. x(t) = 1 bzw. x(t) = -1 sind Extrema oder Wendepunkte... Nur wie hilft mir das weiter? Es kann ja noch mehr Extrema geben... Könntest du mir vielleicht konkretere Tipps geben? Vielen Dank!
10.05.2011, 01:36	Miriam91	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß jemand Rat?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »