Gronwall Ungleich

06.05.2011, 21:56	sweetLuisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Gronwall Ungleich Hallo, hoffentlich kann mir jemand helfen.. Ich soll aus der Gronwall-Ungleichung $\begin{eqnarray} f(t) \leq \alpha + \int_\alpha ^t \! f(t)g(t) \, dt \end{eqnarray}$ , woraus ich folgendes hergeleitet habe: $\begin{eqnarray} f(t) \leq \alpha * e^{\int_\alpha ^t \! f(t)g(t) \, dx } \end{eqnarray}$ . Dabei gilt: a,b aus R, a<b, g:[a,b] --> R+ stetig. Folgendes herleiten: Zeigen Sie $\begin{eqnarray} u \subseteq \mathbb R x\mathbb R \end{eqnarray}$ . Sei weiter w: U--> R stetig und bzgl. der zweiten Variable Lipschit-stetig mit L>0. Seien (to,xo), (to,x1) aus U und $\begin{eqnarray} \alpha_{0}, \alpha_{1} : [t_{0},t_{0}+e] --> \mathbb R \end{eqnarray}$ fuer ein e>0 die Loesungen der DGL dx/dt=w(t,x) mit den Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray} \alpha_{0}(t_{0}) = x_{0} , \alpha_{1}(t_{0}) = x_{1} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie mit Hilfe der Gronwall-Ungleichung , dass dann: $\begin{eqnarray} \|\alpha_{0}(t)- \alpha_{1}(t)\| \leq \|x_{0}-x_{1}\| * e^{L(t-t_{0}) } \end{eqnarray}$ für alle t aus [to,to+e] gilt. Mein Ansatz war nun der, zu schreiben: f(t) = $\begin{eqnarray} \|\alpha_{0}(t)- \alpha_{1}(t)\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha = \|x_{0}-x_{1}\| \end{eqnarray}$ und [latex]\int_\alpha ^t \! f(t)g(t) \, dt = L(t-to). Doch wie komme ich nun weiter mit der Lipschitz-Stetigkeit und wie zeig ich,dass die Gronwall Gleichung überhaupt gilt? Vielen Dank!
06.05.2011, 21:58	sweetLuisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Ansatz: Mein Ansatz war nun der, zu schreiben: f(t) = $\begin{eqnarray} \|\alpha_{0}(t)- \alpha_{1}(t)\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha = \|x_{0}-x_{1}\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_\alpha ^t \! f(t)g(t) \, dt = L(t-to) \end{eqnarray}$ Doch wie komme ich nun weiter mit der Lipschitz-Stetigkeit und wie zeig ich,dass die Gronwall Gleichung überhaupt gilt? Vielen Dank!
07.05.2011, 20:58	sweetLouisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir keiner helfen? Ich komme absolut nicht weiter...
07.05.2011, 21:48	gast200	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Jetzt musst du nur noch die Abschätzung zeigen, Rest folgt aus der Gronwall-Ungleichung. Und um das Abzuschätzen kannst du verwenden: 1. Lipschtiz-Bedingung 2. Ungleich für Integrale 3. Dreiecksungleichung Zur Gronwall-Ungleichung: Zeige erst eine passende Abschätzung für y(x) mit y'(x)<=g(x)*y(x), (y aus C^1, g aus C^0) diese kannst du direkt benutzen. Gruß
07.05.2011, 23:22	sweetLouisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Also soll ich $\begin{eqnarray} \|\alpha_{0}(t)- \alpha_{1}(t)\| \end{eqnarray}$ ableiten? Oder direkt mit der Lipschitz Stetigkeit abschätzen, also $\begin{eqnarray} \|\alpha_{0}(t)- \alpha_{1}(t)\| \end{eqnarray}$ <= \|x0-x1\| ? Tut mir leid, ich stehe wohl auf dem Schlauch...
08.05.2011, 00:32	Gast200	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht ableiten. Arbeite mit der Lipschtibedingung \|w(t,x)-w(t,y)\|<=L\|x-y\|. Nun suchst du dir 2 Lösungen der DGl heraus und schreibst die Ungleichung für sie auf, kannst nach L umstellen (für x<>y, x=y ist ein trivialer Fall), und in das, was du abschätzen willst (um Gronwall zu benutzen) einsetzen. Gruß
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08.05.2011, 11:24	sweetLouisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne sorry, ich blick da nicht durch... Also ich benutze die Lipschitz Bedingung: \|w(t,x)-w(t,y)\| <= L * \|x-y\| Wie komm ich dadurch auf eine Abschätzung mit $\begin{eqnarray} \alpha_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha_{1} \end{eqnarray}$ ?
08.05.2011, 21:31	sweetLouisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir vielleicht noch jemand helfen? lieb guck

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