Trichotomiegesetz beweisen

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Trichotomiegesetz beweisen
Hallo,

ich frage mich, wie man das Trichotomiegesetz beweisen kann.
Zitat:
Für zwei reelle Zahlen a und b gilt genau eine der folgenden Beziehungen:





Dazu habe ich mir überlegt, zu sagen, dass die reellen Zahlen ein angeordneter Körper sind. Hilft das weiter?

Vielen Dank.
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hilft weiter. Das Trichotomiegesetzt gilt nämlich nur auf total geordneten Mengen. Eine Halbordnung reicht nicht aus. Nimm z.B. die Menge der zweidimensionalen Vektoren mit der Ordnungsrelation "Komponentenweise kleiner gleich" (, die hochgestellte 2 soll anzeigen, dass hier zwei Komponenten kleiner-gleich sein müssen um die Relation zu erfüllen), und definiere dazu passend, dass zwei Vektoren genau dann gleich sind, wenn alle Komponenten gleich sind.

Also:

Definitionen:





Davon ausgehend definiere ich auch die Relationen "kleiner" und "größer"







Ich habe folgende Vektoren:



und vergleiche r mit allen anderen Vektoren

Dann gilt:

Vergleich r mit s:



Daher gilt das Gesetz in diesem Fall

Vergleich r mit t:



Daher gilt das Gesetz auch in diesem Fall

Vergleich r mit u:



Daher gilt das Gesetz auch in diesem Fall


Aber jetzt kommt's:

Vergleich r mit v:




In diesem Fall gilt das Trichonomiegesetz nicht.
r ist weder kleiner noch größer noch gleich v.
Und das konnte nur passieren, weil die Relation "Komponentenweise kleiner oder gleich" auf der Menge der zweidimensionalen Vektoren keine Totalordnung, sondern nur eine Halbordnung erzeugt.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und vielen Dank für deine Antwort,

Zitat:
Original von Hubert1965
[...] dass hier zwei Komponenten kleiner-gleich sein müssen [...]

Definitionen:






Meinst du hier, dass die zwei Komponenten des einen Vektors kleinergleich den zwei Komponenten des anderen Vektors sind?
Müsste es dann hier nicht (und) heißen?

Denn im Vergleich mit weiter unten würde es dann ja keinen Sinn ergeben...
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Müsste es dann hier nicht (und) heißen?


Ja, du hast recht.
Ich habe es oben auch schon korrigiert.
Tut mir leid, wenn ich dich durch meinen Fehler verwirrt habe.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun habe ich verstanden, was du damit ausdrücken wolltest.

Verstehe ich das aber nun richtig: verwirrt
Halbordnung: Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. (hier [Wiki/Ordnungsrelation#Halbordnung] gefunden)
total geordnete Menge: es gilt oder (habe ich hier [total geordnete Menge] gelesen)

Wie kann man nun das Trichotomiegesetz auf total geordneten Mengen beweisen?
verwirrt

Danke schon einmal bis jetzt...
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
total geordnete Menge: es gilt oder (habe ich hier [total geordnete Menge] gelesen)
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

@zweiundvierzig: Was meinst du damit?
Ist das also richtig?

Dem Link bin ich auch gefolgt. Da habe ich schließlich die Informationen her, dass das so gilt. Findet man auch hier (http://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Totalordnung)...

Doch warum hast du das zitiert ?
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussagen "Das Trichonomiegesetz gilt" und "Die Menge ist total geordnet" sind äquivalent.

Eine totale Ordnungsrelation ist:
  • transitiv
  • reflexiv
  • asymmetrisch
  • antisymmetrisch
  • total


Eine Halbordnung ist:
  • transitiv
  • reflexiv
  • asymmetrisch
  • antisymmetrisch
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hubert1965
Die Aussagen "Das Trichonomiegesetz gilt" und "Die Menge ist total geordnet" sind äquivalent.

Aha, weil die Eigenschaft total schon dafür sorgt, dass oder (oder beide in Relation jeweils stehen).
Damit ist schon und gesichert.
Sollte man nicht und sicher stellen?
Und aus antisymmetrischen Gründen gilt, dass wenn auch (das kann bei bzw. auch nicht gehen). Das bezog sich aber auf bzw. .

Total muss sie wohl sein, weil dann immer eins von beiden (oder beide) gelten.
Das hat man bei den Vektoren ja nicht gehabt, weil weder < noch > noch = galt.

Leider verstehe ich noch nicht ganz, warum das Trichotomiegesetz gelten muss, wenn es sich um eine total geordnete Menge handelt (also solch eine Menge, auf der eine totale Ordnungsrelation definiert ist ?)
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Totalität der Relation in einer total geordneten Menge sorgt dafür, dass zwischen zwei beliebigen Zahlen und stets einer der folgenden drei Fälle eintritt:








die vierte theoretisch mögliche Kombination ist ausgeschlossen. Genau dieser Ausschluss ist ja die Definition der Totalität.

Nun musst du nur noch zeigen, dass Fall a mit identisch ist, b mit und c mit .
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu (b)
Hier würde m.E. die Symmetrie eine Rolle spielen:


Nun setze ich das als bekannt voraus. Das sollte man doch dürfen verwirrt

zu (a)
Weil ich nämlich jetzt auf dieses Argument aufbaue:

Nun gilt aber:
Ich möchte zeigen, dass bei der Bedingung sichergestellt ist, dass nicht gelten kann. Wenn es nämlich gelten würde, dann wäre der Fall, was nicht gewünscht war, also .

Alternativ könnte man durch ersetzen.
Denn besagt: . Wenn man nun die Negation betrachtet: .
Allerdings ist das ein Zirkleschluss, weil ich voraussetze, dass (a), (b) oder (c) gilt.


zu (c)
Hier geht es analog zu (a):
.
Das sagt wieder aus: .
Allerdings muss gelten, weil eines (mindestens) gelten muss und nicht gelten kann, weil dann der Fall wäre.

Nun ist die Bedingung dazu schwach und sagt mehr aus. Also kann man einfach sagen:
.

Damit wäre doch alles gezeigt (?)

Vielen Dank für deine Hilfe smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte dieses Thema noch einmal aufgreifen, weil ich mir nicht sicher bin, ob ich nun richtig vorgegangen bin.

Kannst du mir weiterhelfen?
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich war ein paar Tage nicht im Matheboard.

Ich glaube, du denkst zu kompliziert.


b) hast du ja richtig gemacht. Ganz korrekt, weil ja auch die Umkehrung gilt, wäre:




Daraus könntest du dann problemlos ableiten:




Und das kannst du dann in a) und c) weiterverwenden.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Original von Pascal95
zu (b)
Hier würde m.E. die Symmetrie eine Rolle spielen:



ich meinte hier Antisymmetrie.

Ok, die Umkehrung gilt auch, also:


Nun hat man

(hier gehts ja auch in beide Richtungen)


Nun kann man also schreiben
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Nun hat man

(hier gehts ja auch in beide Richtungen)


Nein! Nicht in beide Richtungen!!!
Setze für a 1 und für b 2 ein. Dann ist zwar , aber trotzdem
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, stimmt.

war ein denkfehler Augenzwinkern

das andere stimmt?
Zitat:

Nun kann man also schreiben
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

ja
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,
Vielen Dank für deine Hilfe smile
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