Stetigkeit einer mengenwertigen Funktion

07.05.2011, 10:56

Fletcher

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Stetigkeit einer mengenwertigen Funktion

Guten Tag,

ich würde gerne zeigen, dass die folgende mengenwertige Funktion stetig ist. $\begin{eqnarray*} G:[0,1] \rightarrow 2^{\mathbb R^2} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} G(r) = \{y \in \mathbb R^2 | y_1^2+y_2^2 \leq r^2\} \end{eqnarray*}$

Um die Stetigkeit einer mengenwertigen Funktion zeigen zu können, benötigen wir die Unter- und Oberhalbstetigkeit, die folgendermaßen definiert sind.

$\begin{eqnarray*} F: X \rightarrow 2^Y \end{eqnarray*}$ ist unterhalbstetig in x_0, falls für alle offenen Teilmengen V von Y mit $\begin{eqnarray*} F(x_0) \cap V \neq \emptyset, \end{eqnarray*}$ eine Umgebung U von x_0 existiert, so dass $\begin{eqnarray*} F(x) \cap V\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ .
F ist oberhalbstetig in x_0, falls für alle offenen Teilmengen V von Y mit $\begin{eqnarray*} F(x_0) \subset V \end{eqnarray*}$ , eine Umgebung U von x_0 existiert, so dass $\begin{eqnarray*} F(x) \subset V \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gilt.

Bei der Anwendung auf die obengegebene Funktion G stosse ich nun auf Probleme. Sei $\begin{eqnarray*} x_0 \in [0,1] \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt und V eine offene Umgebung mit $\begin{eqnarray*} G(x_0) \cap V \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
1. Zunächst habe ich mir überlegt, wenn V eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} G(x_0) \end{eqnarray*}$ ist, dann ist es doch nicht so interessant, oder?
2. Der interessante Fall ist, wenn $\begin{eqnarray*} V \cap \partial G(x_0) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} y_0 \in V \cap \partial G(x_0) \end{eqnarray*}$ . Da V offen ist existiert eine Kreisscheibe B um y_0, d.h.
$\begin{eqnarray*} B:=\{y| ||y-y_0|| \leq \epsilon\} \end{eqnarray*}$ . Jetzt weiß ich an dieser Stelle nicht mehr weiter. Ich möchte jetzt so verfahren, dass für alle y in dieser kleinen Scheibe ein x existiert, dass in einer Umgebung von x_0 liegt. Dann wäre ich doch fertig oder?

Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank schon mal für das Durchlesen

07.05.2011, 11:08

Fletcher

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Kann das Thema bitte in Hochschulmathematik verschoben werden? Vielen Dank

07.05.2011, 19:02

Fletcher

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Bitte verschieben! Kann mir jemand weiterhelfen oder stehe ich einfach auf dem Schlauch?

08.05.2011, 17:27

Fletcher

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*push*

Gruß Fletcher

09.05.2011, 11:14

Fletcher

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Danke für das Verschieben. Ist die Frage zu leicht oder zu schwierig? verwirrt

verwirrt

Viele Grüße

09.05.2011, 20:58

Fletcher

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Wink

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11.05.2011, 15:24

Fletcher

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Wie könnte ich denn weitermachen? Weiß das jemand?

11.05.2011, 15:37

pseudo-nym

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Ich nehme an, du hast alle Räume mit der Standardtopologie bzw. deren Teilraumtopologien versehen.

Betrachte $\begin{eqnarray*} G((\Vert y \Vert - \frac{\varepsilon}{2}, \Vert y \Vert)) \end{eqnarray*}$

11.05.2011, 16:05

Fletcher

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Ich nehme an, du hast alle Räume mit der Standardtopologie bzw. deren Teilraumtopologien versehen.

Betrachte $\begin{eqnarray*} G((\Vert y \Vert - \frac{\varepsilon}{2}, \Vert y \Vert)) \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} G((\Vert y \Vert - \frac{\varepsilon}{2}, \Vert y \Vert)) \end{eqnarray*}$ ? G hat doch nur ein Argument? verwirrt

verwirrt

Gruß und schon mal Danke

11.05.2011, 16:14

pseudo-nym

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http://de.wikipedia.org/wiki/Bild_%28Mathematik%29#Definition

Das Argument ist ein Intervall. Beachte die inneren Klammern.

11.05.2011, 21:43

Fletcher

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Okay, da es sich um eine mengenwertige Abbildung handelt bekommen wir

$\begin{eqnarray*} G((\Vert y\Vert - \frac{\varepsilon}{2}, \Vert y \Vert)) = \bigcup_{r\in (\Vert y\Vert - \frac{\varepsilon}{2}, \Vert y \Vert)} G(r) \end{eqnarray*}$

Da alle Kreise ineinander liegen, ist das Bild $\begin{eqnarray*} G(\Vert y \Vert) \end{eqnarray*}$ . Kannst du mir bitte erklären worauf du hinaus möchtest? Wahrscheinlich stehe ich auf den Schlauch!

Viele Grüße

12.05.2011, 00:06

pseudo-nym

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Nein, das Bild einer Menge M bezüglich G ist die Menge aller G(r) mit r in M und nicht deren Vereinigung.

12.05.2011, 08:19

Fletcher

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Nun gut, ich sehe aber nicht was du mir damit sagen möchtest? Kannst du mir das vielleicht erklären?

12.05.2011, 19:21

pseudo-nym

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Ich meinte natürlcih
$\begin{eqnarray*} G((\Vert y_0\Vert - \frac{\varepsilon}{2}, \Vert y_0 \Vert)) \end{eqnarray*}$

Was passiert wenn du die Elemente dieser Menge mit V schneidest?

12.05.2011, 20:08

Fletcher

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Dann bekomme ich meine Menge B oder?

Somit wäre der Durchschnitt nicht leer und wir haben gezeigt, dass eine Umgebung um x0 existiert und sind damit schon fertig. Könnten wir statt Epsilon/2 auch Epsilon selbst wählen?

12.05.2011, 20:17

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Fletcher
Dann bekomme ich meine Menge B oder?

Nein, die Elemente der angegebenen Mengen sind Teilmengen der rellen Zahlen. Du kannst nur jedes einzelne dieser Elemente mit V schneiden.

13.05.2011, 15:58

Fletcher

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Aber wie willst du denn diese Elemente genauer beschreiben? Wenn es Teilmengen der reellen Zahlen sind, dann sind die Schnittmengen Intervalle. Eigentlich reicht doch schon die Existenz eines einzigen Punktes in dieser Schnittmenge. Aber ich sehe nicht worauf du abzielst.

16.05.2011, 22:45

Fletcher

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Hi,

kannst du mir bitte sagen, wie ich diese Schnittmenge genauer beschreiben soll? Worauf wolltest du hinaus?

MfG

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