Nullmengen im R2

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terri Auf diesen Beitrag antworten »
Nullmengen im R2
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

a) Sei . Zeigen Sie, dass N eine Nullmenge im ist.

b) Seien , a<b. Sei stetig. Zeigen Sie, dass der Graph
von f eine Nullmenge in ist.

Hinweis: Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig.

Meine Ideen:

a) Ich identifiziere die Menge N als Quader, und benutze den in der Vorlesung bewiesen Satz, dass das Maß von Mengen und das Volumen von Quadern für Quader äquivalent sind => und da eine Seitenlänge 0 ist, ist auch das Volumen und somit das Maß 0.

b) Anschaulich ist mir die ganze Sache klar. Der Graph ist quasi eine "1-dimensionale" Menge, soll heißen er hat einfach keine "Dicke" und ist somit eine Nullmenge im R2.

Die Idee, wie ich das formal zeigen kann, ist mir aber noch nicht gekommen. Wenn ich mal versuche den Hinweis zu benutzen:

Damit der Graph kompakt ist, muss er beschränkt und abgeschlossen sein. Die Beschränktheit folgt aus Stetigkeit und daraus, das die Funktion nur auf einen Intervall definiert ist (?), Abgeschlossenheit daraus, dass das Intervall abgeschlossen ist (?). Ich könnte also vermutlich zeigen, dass die Funktion auf [a,b] gleichmäßig stetig ist. Nur: Was bringt mir das?

Sonst noch ein schönes WE, Terri
terri Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge der Antworten scheint ja auch eine Nullmenge zu sein, nämlich der triviale Fall der leeren Menge.

Woran liegt's? Irgendwas unklar in meinen Ausführungen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Mit etwas Geduld gibt es dann doch noch eine Antwort, wie du siehst Augenzwinkern

Zur a) Deine Idee ist richtig, wobei das vorraussetzt, dass ihr unter Quader auch unbeschränkte Mengen versteht.

Um das Problem der Unbeschränktheit zu umgehen, könnte man es so machen:

Es ist

Wegen folgt mit der Stetigkeit von unten die gewünschte Behauptung

Zur b)

Da f auf [a,b] gleichmäßig stetig ist, gibt es zu jedem Treppenfunktionen mit und .

Man kann o.B.d.A annehmen, dass die beiden Treppenfunktion von der selben Zerlegung erzeugt sind, denn zu zwei Zerlegungen gibt es stets eine, die beide verfeinert.
Wenn man mal den Beweis des obigen Satzes betrachtet, bemerkt man, dass man die Zerlegung sogar äquidistant wählen kann (was aber hier gar nicht nötig ist).

Nun ist

Rechts werden nun lauter Quader vereinigt, deren Maß man bestimmen (bzw. nach oben abschätzen) kann. Insgesamt kann man dann das Maß der Vereinigung (und damit das Maß von G) nach oben abschätzen durch , was die Behauptung liefert, da Epsilon beliebig war.
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