Spur von Matrizen

07.05.2011, 11:43

eila

Spur von Matrizen

Hey, komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei A=( $\begin{eqnarray*} a_{j,k} \end{eqnarray*}$ ) eine n x n Matrix. Die Spur von A wird definiert durch spur(A)= $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n}{a_{j,j}} \end{eqnarray*}$ . Man zeige, dass für n x n Matrizen A,B gilt: spur(AB)=spur(BA).

Ich habe nun ein Beispiel mit zwei 3 x 3 Matrizen durchgerechnet, muss mein Ergebnis allerdings noch verallgemeinern.

Nun weiß ich, dass gilt:

Spur(AB)= $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}{a_{j,k}b_{k,j}} \end{eqnarray*}$ )
Spur(BA)= $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n}(\sum_{k=1}^{n}{b_{j,k}a_{k,j}}) \end{eqnarray*}$

Diese beiden Ausdrücke kann man ja nun gleich setzen, da man ja weiß, dass sie gleich sein müssen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das umstellen kann, damit man sofort sieht, dass es sich um das gleiche handelt...

07.05.2011, 12:27

DarthVader

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du hast geschrieben: da man ja weiß, dass sie gleich sein müssen

aber genau das musst du ja zeigen, als beweis ist das nicht ausreichend. du hast schon richtig erkannt, was spur(AB) und spur(BA) ist. jetzt musst du nur noch einen weg zeigen wie man von der einen seite auf die andere kommt. haste da vielleicht ne idee wie man das anstellen könnte?

07.05.2011, 12:32

eila

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ziemlich genau das war meine frage^^

07.05.2011, 12:49

DarthVader

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ok fangen wir von vorne an:
woher weißt du, dass zb folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} Spur(AB)=\sum\limits_{j=1}^n {\sum\limits_{k=1}^n a_{jk} b_{kj}} \end{eqnarray*}$

der beweis ansich ist nicht schwer und ich vermute mal, du hast da auch schon viel richtig gemacht. es geht darum ihn formal richtig aufzuschreiben...

edit:
eine boardsuche hätte dir in deinem fall auch weitergeholfen...schaust du hier

wende das auf deine nxn-matrizen an. falls du noch fragen hast, können wir hier natürlich gerne weitermachen.

14.12.2011, 11:39

Michael Zombok

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Hi,

habe genau diesselbe Aufgabe und hänge an dieser ersten Umformung, also

$\begin{eqnarray*} <br /> Spur(AB) = \sum_{j=1}^{n}(\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{kj}) = \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{kj}<br /> \end{eqnarray*}$

Kann mir vielleicht jemand diese Identität in Worten erklären? Danke!

14.12.2011, 16:00

HansG

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Let A=(a_ij) and B=(b_ij) with 1<=i,j<= n.
Moreover, let AB = (c_ij) and BA = (d_ij)

Then, tr(AB) = sum(i=1 to n) c_ii
= sum(i=1 to n) sum(j=1 to n) a_ij b_ji
= sum(j=1 to n) sum(i=1 to n) b_ji a_ij
= sum(j=1 to n) d_ jj
= tr(BA).

I hope that helps!

15.12.2011, 17:09

Michael Z.

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Zitat:

Original von HansG
Let A=(a_ij) and B=(b_ij) with 1<=i,j<= n.
Moreover, let AB = (c_ij) and BA = (d_ij)

Then, tr(AB) = sum(i=1 to n) c_ii
= sum(i=1 to n) sum(j=1 to n) a_ij b_ji
= sum(j=1 to n) sum(i=1 to n) b_ji a_ij
= sum(j=1 to n) d_ jj
= tr(BA).

I hope that helps!

Thank you for the solution. What is not clear to my, why I can change the sum indices or rather the above latex code? verwirrt

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