Radikale

07.05.2011, 13:18

Ibn Batuta

Radikale

Hi Leute,

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sei ein kommutativer Ring mit 1, $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ ein Ideal. Definiert wird das Radikal $\begin{eqnarray*} \sqrt{\mathfrak{a}}:=\{ a \in R~|~\exists n\in\mathbb{N}~:~a^n\in \mathfrak{a} \} \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\mathfrak{a}} = (1) \Leftrightarrow \mathfrak{a}=1 \end{eqnarray*}$

Gut, fange mit " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " an.

Mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\mathfrak{a}} = (1) \ \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Für $\begin{eqnarray*} 1 \in R \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} 1^n \in \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} 1^n = 1 \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}\subseteq\sqrt{\mathfrak{a}} \end{eqnarray*}$ folgt, daß $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}=1 \end{eqnarray*}$ .

Hier wäre meine erste Frage schon. Ist das total falsch?

Zu " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " hätte ich so angefangen...

Sei $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}=(1) \ \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} \sqrt{\mathfrak{a}} \end{eqnarray*}$ das Radikal zu $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ , dann existiert ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^n=1 \in \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$

Aber bevor ich da noch weitermache, wollte ich euch fragen, ob das auch in die falsche Richtung geht.

Danke euch.

Ibn Batuta

07.05.2011, 14:32

pseudo-nym

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RE: Radikale
Ich nehme an du hast dich zweimal verschrieben und meinst $\begin{eqnarray*} \mathfrak a = (1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Da $\begin{eqnarray*} 1^n = 1 \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}\subseteq\sqrt{\mathfrak{a}} \end{eqnarray*}$ folgt, daß $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}=1 \end{eqnarray*}$ .

Das verstehe ich nicht.
Meiner Meinung bist du ab der Erkenntnis $\begin{eqnarray*} 1^n = 1 \in \mathfrak a \end{eqnarray*}$ fertig.

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}\subseteq\sqrt{\mathfrak{a}} \end{eqnarray*}$ würde ich eher für die andere Richtung benutzen. Ein Ideal, welches das Einsideal enthält... Was kann das sein? Big Laugh

07.05.2011, 17:59

Ibn Batuta

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RE: Radikale
Ja, habe mich oben wirklich verschrieben.

Zitat:

Original von pseudo-nym
Das verstehe ich nicht.
Meiner Meinung bist du ab der Erkenntnis $\begin{eqnarray*} 1^n = 1 \in \mathfrak a \end{eqnarray*}$ fertig.

Das stimmt natürlich. Da habe ich zu kompliziert gedacht..

Zitat:

Original von pseudo-nym
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}\subseteq\sqrt{\mathfrak{a}} \end{eqnarray*}$ würde ich eher für die andere Richtung benutzen. Ein Ideal, welches das Einsideal enthält... Was kann das sein? Big Laugh

Hm.. Ich dachte mir, daß ich ausschließen müßte, daß es ein weiteres Element $\begin{eqnarray*} a\in R, a\ne 1 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} a^n=1 \end{eqnarray*}$ wird. Daher diese Überlegung.
Mit deinem Tipp $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}\subseteq\sqrt{\mathfrak{a}} \end{eqnarray*}$ sollte sich das ja so machen lassen.

Sei $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}=(1) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \sqrt{\mathfrak{a}} \end{eqnarray*}$ gilt: sei $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ , dann existiert ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a^n\in\mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}=(1) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a^n=1\in\mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , woraus $\begin{eqnarray*} \sqrt\mathfrak a=(1) \end{eqnarray*}$ folgt.

So korrekt?

Ibn Batuta

07.05.2011, 21:01

pseudo-nym

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RE: Radikale

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Hm.. Ich dachte mir, daß ich ausschließen müßte, daß es ein weiteres Element $\begin{eqnarray*} a\in R, a\ne 1 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} a^n=1 \end{eqnarray*}$ wird.

Das kannst du nicht ausschließen. Betrachte $\begin{eqnarray*} R = (\mathbb Z_4, +, \cdot), a = 3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Sei $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}=(1) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \sqrt{\mathfrak{a}} \end{eqnarray*}$ gilt: sei $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ , dann existiert ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a^n\in\mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ .

Das ist richtig, aber viel zu aufgeblasen. Für n kann man immer eins wählen.

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Da $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}=(1) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a^n=1 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Betrachte $\begin{eqnarray*} R = (\mathbb Z, +, \cdot), a \text{ mit } \vert a \vert > 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Ibn Batuta
$\begin{eqnarray*} a^n=1\in\mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$

Verstehe ich nicht, $\begin{eqnarray*} a^n = 1 \Rightarrow a = 1 \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls falsch.

Ich weiß nicht, ob du meinen Tipp umsetzen wolltest, aber du hast jedenfalls $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a}\subseteq\sqrt{\mathfrak{a}} \end{eqnarray*}$ nicht verwendet.

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