Logarithmische Gleichung

07.05.2011, 13:49

MatheKind

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Logarithmische Gleichung

Hallo,
ich habe mit Logarithmen so meine Probleme:

$\begin{eqnarray*} log_{10}(5x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_{10}(5) + log_{10}(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_{10}(x) = 1 - log_{10}(5) \end{eqnarray*}$

Wie wende ich nun die Umkehrfunktion an, so dass z. B. aus $\begin{eqnarray*} log_{10}(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird?

Danke im Voraus!

L. G.
MatheKind

07.05.2011, 13:59

DP1996

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Es ist $\begin{eqnarray*} b^{log_{b}(x)}=x \end{eqnarray*}$ für alle x>0,b>0,b ungleich 1

07.05.2011, 15:28

MatheKind

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Ich bin ehrlich gesagt immernoch etwas überfragt.

Muss ich etwa so erweitern?

$\begin{eqnarray*} log_{10}(x) = 1 - log_{10}(5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10^{log_{10}(x)} = 10^1 - 10^{log_{10}(5)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 10-5 = 5 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist aber laut Lösung falsch.

L. G.
MatheKind

07.05.2011, 16:06

Equester

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Hmm es wird die ganze rechte Seite in die Potenz von 10 geschrieben! So wie du das
gemacht hast, ist das falsch.

Allerdings kann man hier leicht mit hinsehen umformen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 5=\frac{10}{2} \end{eqnarray*}$ . Die 10 bringt hier Vorteile, da wir ja die Basis 10 haben! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also:

$\begin{eqnarray*} log_{10}(5x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_{10}(\frac{10x}{2}) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_{10}10 + log_{10}x - log_{10}2= 1 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist ja dann kein Problem mehr, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.05.2011, 16:37

MatheKind

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2 ist das Ergebnis und ein eleganter Rechenweg noch dazu, danke! smile

smile

Liebe Grüße
Mathekind

07.05.2011, 16:54

Co-Sinus

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Die eleganteste Lösung wäre meiner Meinung doch:

$\begin{eqnarray*} \log_{10} {(5x)} =1<br /> 10 = 5x<br /> x = 2 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

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07.05.2011, 17:19

MatheKind

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Danke, an Co-Sinus für den noch eleganteren Weg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Fragezeichen hören jedoch nicht auf:

$\begin{eqnarray*} 3^{2*ln(x)} = 27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3e^{2*ln(x)} = 27e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x^{2} = 27e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} = 9e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 3\sqrt{e} \end{eqnarray*}$

Ist laut Lösung aber auch falsch.

Wo ist der Fehler?!

Liebe Grüße
MatheKind

07.05.2011, 17:39

Equester

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Wenn du die e-Funktion anwendest, dann immer auf das Ganze! Was hat also die drei noch
unten zu suchen?! Die muss in die Potenz!

07.05.2011, 17:55

MatheKind

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Ich habe einfach mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ multipliziert. Ist das nicht erlaubt?!

07.05.2011, 18:05

Co-Sinus

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Zitat:

Original von MatheKind
Ich habe einfach mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ multipliziert. Ist das nicht erlaubt?!

Mit e multipliziert hast du nicht, du hast einfach e hingeschrieben und den Exponenten verschoben. Wie ist der Ansatz $\begin{eqnarray*} 3^{y} = 27 \end{eqnarray*}$ ?

07.05.2011, 18:05

Equester

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Wenn du es richtig machst, dann schon^^

Aber du hast die Potenz die eigentlich zur 3 gehört einfach so an das e übergeben? Oo
Das geht nicht! Schau nochmals die Potenzgesetze nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Co-Sinus: Mach gern weiter. Viel Spaß euch noch Wink

Wink

07.05.2011, 18:26

MatheKind

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$\begin{eqnarray*} 3^{2*ln(x)} = 27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{3^{2*ln(x)}} = e^{27} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{6^{ln(x)}} = e^{27} \end{eqnarray*}$

Leider weiss ich nun nicht weiter,

Würde mich über Hilfe freuen!

L. G.
MatheKind

07.05.2011, 18:29

Co-Sinus

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Wie gesagt, was ist mit dem Ansatz:

$\begin{eqnarray*} 3^{y} = 27<br /> 2*ln(x)=y \end{eqnarray*}$

07.05.2011, 19:02

Equester

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@MatheKind:

Potenzgesetze beachten: $\begin{eqnarray*} e^{3^{2*ln(x)}} =e^{9^{ln(x)}} \neq e^{6^{ln(x)}} \end{eqnarray*}$

Beachte: Dass beim Potenzgesetz eine Klammer stehen müsste:
$\begin{eqnarray*} (e^3)^{2*ln(x)} \end{eqnarray*}$
-> Jetzt könntest du deinen Weg nehmen (das ln(x) wird dabei auch multipliziert!)

07.05.2011, 19:23

MatheKind

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$\begin{eqnarray*} 3^{y} = 27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(3^{y}) = ln(27) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y*ln(3) = ln(27) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{ln(27)}{ln(3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * ln(x) = \frac{ln(27)}{ln(3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2 * ln(x)} = e^{\frac{ln(27)}{ln(3)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} = e^{\frac{ln(27)}{ln(3)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = e^{\frac{1}{2} * \frac{ln(27)}{ln(3)}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun mit dem Taschenrechner weiter rechne, komme ich auf $\begin{eqnarray*} x = e^{1,5} \end{eqnarray*}$ , was auch die richtige Lösung ist, aber wie komme ich ohne Taschenrechner drauf?

Liebe Grüße
MatheKind

PS: Großen Dank für deine Hilfe!

07.05.2011, 22:57

Equester

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ln(27)=ln(3³)

Wende nun die Logarithmengesetze an. Dann biste gleich am Ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hättest du es gleich so angewandt wäre es vllt en Tick schneller gegangen...

Wink

Wink

08.05.2011, 00:25

MatheKind

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Danke, euester! :-)

Hier eine andere Aufgabe die ich fast richtig habe:

$\begin{eqnarray*} a^{p*log(x)} * b^{q*log(x)} = c^{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{y} * b^{z} = c^{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(a^{y} * b^{z}) = log(c^{r}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y*z*log(a * b) = r*log(c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y*z = \frac{r*log(c)}{log(a * b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p*log(x)*q*log(x) = \frac{r*log(c)}{log(a * b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(x)*log(x) = \frac{r*log(c)}{log(a * b)*p*q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(x)*log(x) = \frac{r*log(c)}{log(a^p * b^q)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(x)*log(x) = \frac{r*log(c)}{p*log(a) + q*log(b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10^{log(x)*log(x)} = 10^{\frac{r*log(c)}{p*log(a) + q*log(b)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*x = c^{\frac{r}{p*log(a) + q*log(b)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = c^{\frac{r}{p*log(a) + q*log(b)}} \end{eqnarray*}$

Laut Lösung ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ das, was auf der rechten Seite steht. Wo ist also der Fehler?

Danke im Voraus!
MatheKind

08.05.2011, 00:31

Equester

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Schon in der dritten Zeile musst du die Potenz- bzw. Logarithmengesetze beachten!

$\begin{eqnarray*} log(a^y*b^z)=log(c^r) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to log(a^y)+log(b^z)=log(c^r) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to ylog(a)+zlog(b)=rlog(c) \end{eqnarray*}$

smile

smile

08.05.2011, 11:01

MatheKind

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Leider komme ich sehr schnell nicht mehr weiter...

$\begin{eqnarray*} a^{y} * b^{z} = c^{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{y} = \frac{b^{z}}{c^{r}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y*log(a) = r*log(c)- z*log(b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{r*log(c)- z*log(b)}{log(a)} \end{eqnarray*}$

Wie kriege nun $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite? Da ist nämlich $\begin{eqnarray*} log(x) \end{eqnarray*}$ auch enthalten,

Danke im Voraus
MatheKind

08.05.2011, 11:12

Equester

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Bleibe bei der ersten Zeile, wende den Logarithmus direkt an.
Wende die Logarithmengesetze and (Multiplikation in Summe und Potenz rausschreiben.)
Dann resubstituiere Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2011, 11:37

MatheKind

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Danke, für die Hilfe. smile

smile

Gut, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} y*log(a) + z * log(b) = r * log(c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p*log(x)*log(a) + q*log(x) * log(b) = r * log(c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(x)*(p*log(a) + q*log(b)) = r * log(c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(x) = \frac{r * log(c)}{p*log(a) + q*log(b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10^{log(x)} = 10^{\frac{r * log(c)}{p*log(a) + q*log(b)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = c^{\frac{r}{p*log(a) + q*log(b)}} \end{eqnarray*}$

Laut der Lösung kann man das aber noch weiter vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} x = c^{\frac{r*ln(10)}{p*ln(a) + q*ln(b)}} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf?

L. G.
MatheKind

08.05.2011, 11:45

Equester

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Die haben den ln benutzt, du den 10er Logarithmus. Das passt also schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein Ergebnis ist richtig Freude

Freude

08.05.2011, 12:13

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr! smile

smile

Letzte Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5-ln(x)} +\frac{2}{1+ln(x)} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5-ln(x) +\frac{1+ln(x)}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10-2ln(x) +1+ln(x) = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 11-2ln(x) +ln(x) = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2ln(x) +ln(x) = -9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(x) = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = e^9 \end{eqnarray*}$

Meine Lösung ist mal wieder falsch. smile

smile

Wo liegt der Hund begraben? verwirrt

verwirrt

Liebe Grüße
MatheKind

08.05.2011, 12:27

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde hier erst mal substituieren:
Nimm ln(x)=u.
Dann ists ne normale Bruchgleichung Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2011, 14:04

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, was ändert das nun an meiner Vorgehensweise?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5-u} +\frac{2}{1+u} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5-u +\frac{1+u}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10-2u +1+u = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 11-2u +u = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2u +u = -9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(x) = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = e^9 \end{eqnarray*}$

08.05.2011, 14:08

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Nichts, aber ich dachte es wäre dir dann bekannter und du würdest die
(verzeih Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Anfängerfehler nicht machen!

Du hast den Kehrbruch genommen, den nimmst du aber von der ganzen Summe
der linken Seite, nicht von beiden Summanden einzeln.

Stichwort Hauptnenner führt hier zum Ziel Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2011, 14:30

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Nichts, aber ich dachte es wäre dir dann bekannter und du würdest die
(verzeih Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Anfängerfehler nicht machen!

Den Fehler habe ich in diesem Thread mehrmals gemacht. smile

smile

Danke, nun kommt endlich $\begin{eqnarray*} x_1 = e^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = e^3 \end{eqnarray*}$ als Ergebnis raus! smile

smile

Vielen, vielen Dank für deine Geduld!!! smile

smile

Liebe Grüße
MaheKind

08.05.2011, 14:31

Equester

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Sehr gut!

Augenzwinkern

Und Einsicht ist die beste Sicht hehe. Nicht vergessen! Das sind Grundlagen die intus sein sollten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gerne

Wink

08.05.2011, 14:38

MatheKind

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Zitat:

Original von EquesterUnd Einsicht ist die beste Sicht hehe. Nicht vergessen! Das sind Grundlagen die intus sein sollten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, so langsam sollte ich das lernen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schönen Tag noch!
MatheKind

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