Abstand zweier Schiffe

07.05.2011, 13:54

FAUPhy

Abstand zweier Schiffe

Meine Frage:
Guten Nachmittag,
ich hätte eine vom Inhalt ehr physikalische Frage, wobei die Lösung von mathemtischer Natur sein dürfte:

Zwei Schiffe fahren mit konstanten Geschwindigkeiten von $\begin{eqnarray*} v_{1} bzw. v_{2} \end{eqnarray*}$ .
Beide kommen zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_{1} bzw. t_{2} \end{eqnarray*}$ an derselben Boje vorbei.
Zu welchen Zeitpunkt t haben sie minimalen Abstand?

Meine Ideen:
Also was ich mir jetzt überlegt habe: Man wählt als Bezugssystem das eine Schiff mit konstanter Geschwindigkeit und erhält durch Galilie Transformation die Geschwindigkeit des zweiten Schiffes in diesem Bezugssystem. Somit kann man den Vektor zwischen den Schiffen bestimmen. Dessen Betrag muss dann minimal werden, also diese Funktion nach der Zeit differenzieren.
Aber irgendwie kommt nur Schwachsinn raus, weil die funktioniert leider nicht.

Hat von euch vllt einer ne zündende Idee??
Vielen Dank schon einmal!
Gruß

07.05.2011, 17:14

Abakus

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RE: Abstand zweier Schiffe
Hallo,

ich würde die Geradengleichungen hinschreiben und in eine Abstandsfunktion einsetzen. Dann halt weiterschauen... . Ansonsten schreibst du zu allgemein, um zu sehen, was da jetzt nicht klappt.

Grüße Abakus smile

07.05.2011, 21:27

FAUPhy

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RE: Abstand zweier Schiffe
Also wenn ich die beiden Geradenfunktionen aufstelle, dann lauten die ja (mit der Boje als Ursprung meines Koordinatensystems)

$\begin{eqnarray*} \vec{x_1} (t)= \vec{v_{1}} \cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x_2} (t)= \vec{v_{2}} \cdot t \end{eqnarray*}$

Ich möchte ja jetzt den Abstand der beiden Schiffe, d.h. ich möchte eigentlich
$\begin{eqnarray*} \vec{x^*} = \vec{x_1} - \vec{x_2} \end{eqnarray*}$ , der ja jetzt der Verbindungsvektor zwischen den Schiffen ist.
Jetzt hab ich ja die euklidische Metrik, d.h. es ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x^*_1)^2 + (x^*_2)^2 + (x^*_3)^2} = \sqrt{((v^{'}_1 - v^{'}_2)\cdot t)^2 + ((v^{''}_1 - v^{''}_2)\cdot t)^2 + ((v^{'''}_1 - v^{'''}_2)\cdot t)^2} \end{eqnarray*}$

wobei ' die jeweilige Komponenten bezeichnet.

$\begin{eqnarray*} | | \vec{x*} | | = t \cdot \sqrt{(v^{'}_1 - v^{'}_2)^2 + (v^{''}_1 - v^{''}_2)^2 + (v^{'''}_1 - v^{'''}_2)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich doch den Abstand der beiden Schiffe in Abhängigkeit von t und den beiden Geschwindigkeiten. Und nun?
Nach t differenzierenm, was bekomm ich denn dann raus? Und wofür brauch ich dann die beiden Zeitangaben $\begin{eqnarray*} t_{1} t_{2} \end{eqnarray*}$ zu denen die beiden an der Boje vorbeikommen?

07.05.2011, 21:33

FAUPhy

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RE: Abstand zweier Schiffe
Das Problem ist ja offenensichtlich: Die Funktion ist eine Gerade und hat damit kein Maximum oder Minimum.
Ich hab einfach keinen Plan... verwirrt

07.05.2011, 23:38

mYthos

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Der Fehler liegt schon in einer falschen Voraussetzung: Zur Zeit t befinden sich nicht beide Schiffe im Nullpunkt. Wenn dem tatsächlich so wäre, würde es auch keinen weiteren minimalen Abstand mehr geben. Daher gehen nur die beiden Geraden ihrer Kurse durch den Nullpunkt.

Während sich also das eine Schiff gerade dort befindet, ist das andere in einem von ihm verschiedenen Punkt A lokalisiert. Die beiden Geraden lautet also

$\begin{eqnarray*} \vec x = t \vec {v_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec x = \vec a + t \vec {v_2} \end{eqnarray*}$

Der Differenzvektor

$\begin{eqnarray*} \vec d = t(\vec {v_1} - \vec{v_2}) - \vec a \end{eqnarray*}$

bezeichnet die Distanz der beiden Schiffe. Jetzt wird es - für das Quadrat dessen Betrages in Abhängigkeit von t - ein Minimum geben*, welches allgemein berechnet werden kann.

(*) $\begin{eqnarray*} t_{min} = \frac {\vec a \cdot (\vec{v_1} - \vec{v_2})} {(\vec{v_1} - \vec{v_2})^2} \end{eqnarray*}$

(falls mir jetzt kein Fehler passiert ist)

mY+

08.05.2011, 00:39

Dopap

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Zitat:

Original von mYthos
Die beiden Geraden lautet also

$\begin{eqnarray*} \vec x = t \vec {v_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec x = \vec a + t \vec {v_2} \end{eqnarray*}$

Schiff 1 ist dann bei t=0 an der Boje.
Schiff 2 ist aber nur dann einmal an der Boje, wenn $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \vec v_2 \end{eqnarray*}$ ist. Das ist nicht ersichtlich.

Ich würde es so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \vec x_1(t)=\vec v_1(t-t_1) \end{eqnarray*}$ für Schiff 1 und
$\begin{eqnarray*} \vec x_2(t)=\vec v_2(t-t_2) \end{eqnarray*}$ für Schiff 2

jetzt ist sichergestellt, dass das Schiff 1 zum Zeitpunkt t1, und das Schiff 2 zum Zeitpunkt t2 die Boje passierten.
Nun noch den Betrag des Differenzvektors per Differentiation nach t minimieren...

08.05.2011, 00:59

mYthos

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Doch, das ist schon ersichtlich! Es wurde ja darauf hingewiesen, dass die Kurse beider Schiffe durch den Nullpunkt gehen!

Dein Einwand ist aber dennoch berechtigt. Meine Rechnung kann ich wegen der einfacheren Rechnung bei der Differentiation insoferne belassen, indem statt des Vektors a ein Vielfaches von v2 gesetzt (a = c*v2) wird.
Dasselbe passiert im Prinzip, wenn bei deinem Ansatz t1 = 0 gesetzt wird. Big Laugh

mY+

08.05.2011, 12:20

FAUPhy

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Erstmal vielen Dank!
Ja klar, das war mein Fehler.

Wenn ich dann die Betragsfunktion aufstelle habe ich aber unter der Wurzel Binomische Formeln - das wird ziemlich kompliziert. Gibt es da irgendeinen Trick?
Wieso kann man eigentlich nicht einfach den Abststandsvektor ableiten und dann erst den Bertag ausrechnen und diese Gleichung 0 setzen um das Extram zu bekommen? Denn wenn ich das so mache fällt mir ja bei der Differentation das t raus...

Gruß

08.05.2011, 19:33

FAUPhy

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Mein Problem hat sich gelöst!

Vielen Dank nochmal!

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